Η διαφορά των γωνιών Β και Γ ενός τριγώνου ΑΒΓ...

[ypatia]

Παρουσιάζει κατά τη γνώμη μου ενδιαφέρον, το "πού? και πώς?" εμφανίζεται η διαφορά των γωνιών Β και Γ ενός τριγώνου ΑΒΓ...

Ας αντιμετωπίσουμε τις παρακάτω κατασκευές:

Να κατασκευαστεί το τρίγωνο ΑΒΓ από την πλευρά του ΒΓ=α, τη διάμεσό του ΑΜ=μ και τη διαφορά των γωνιών του Β και Γ, Β-Γ=φ

Να κατασκευαστεί το τρίγωνο ΑΒΓ από την πλευρά του ΒΓ=α και γνωστής θέσης, την ευθεία ε, επί της οποίας βρίσκεται η κορυφή Α και τη διαφορά των γωνιών του Β και Γ, Β-Γ=φ

[S.E.Louridas]

Για το πρώτο:
Αρκεί να προσδιορίσουμε το κέντρο Κ του περιγραμμένου κύκλου στο τρίγωνο ΑΒΓ, που είναι εφικτό αν εργαστούμε στο ευθύγραμμο τμήμα ΑΜ=μ και λάβουμε υπ’ όψη ότι:
►
►

Για το δεύτερο:
Αρκεί να θεωρήσουμε το συμμετρικό, έστω Δ του Β ως πρός την δοθείσα ευθεία και να διαπυστώσουμε ότι η γωνία ΔΑΓ είναι παραπληρωματική της 2ω-Β+Γ,με ω την γωνία της ευθείας ε με την ευθεία ΒΓ.......

S.E.Louridas

[S.E.Louridas]

Θά ήθελα βέβαια να μου επιτραπεί να επισημάνω ότι οι γεωμετρικές κατασκευές αυτού του τύπου δεν μπορεί να είναι κατανοητές στό ευρύτερο Μαθητικό κοινό, αφού (δυστυχώς)
το ''Γεωμετρικό περιβάλλον'' και όχι μόνο στα σχολεία είναι υποβαθμισμένο, προφανώς Ο Χ Ι λόγω ανεπάρκειας των Μαθητών ή των Καθηγητών.

S.E.Louridas

[chris_gatos]

Καλημέρα!

Σε αυτό το σημείο, δεν έχω παρά να συμφωνήσω με το Σωτήρη.

Δεν είναι δύσκολο να καταλάβεις αυτήν την ανεπάρκεια.

Αυτή ισχύει πρωτίστως για εμένα και δεν έχω κανένα πρόβλημα να το παραδεχτώ.

[S.E.Louridas]

Επιτρέψτε μου να επαναλάβω την άποψή μου:
Οι Ελληνες Μαθηματικοί είναι άριστοι,όπως και οι προδιαγραφές των Ελλήνων Μαθητών.
Το περιβάλλον της Ελληνικής εκπαίδευσης έχει το πρόβλημα.Δηλαδή στο ΤΥΠΙΚΟΝ (λέξεις,λέξεις,......) πέρνουμε άριστα,ενώ στην ουσία που απορρέει από τους ''υπεύθυνους κρατικούς φορείς που σχεδιάζουν'' πάμε από το κακό στο χειρότερο.Δεν ειναι δυνατόν να πιστούμε οτι είμαστε άχρηστοι και άρα ήρθε η εποχή του μαστιγώματος γιά να βάλουμε μυαλό και μέχρι τότε ενα είδος μαύρης αγοράς (με την κατοχική 1940 έννοια του όρου) να πλανάται πάνω από τα κεφάλια μας.Επαναλαμβάνω ότι,οι γείτονές μας οι Τούρκοι δίνουν τεράστια σημασία στην Μαθηματική απόδοση με διεθνή απήχηση των θετικών αποτελεσμάτων της προσπάθειας τους αυτής.

Σωτήρης

[chris_gatos]

Σωτήρη κατάλαβα πολύ καλά τι εννοείς και το επικροτώ.

Απλά θέλησα να εκφράσω τη λύπη μου για το ότι το ''σύστημα'' και οι διδακτικές απαιτήσεις της εποχής με έχουν φέρει πίσω όσον αφορά τη Γεωμετρία, κάτι που με πονάει ως μαθηματικό.

Νομίζω πως δεν είναι κακό να παραδέχεσαι την αλήθεια, όσο κι αν αυτή πονάει.

Όλα στο χέρι μας είναι όμως και όταν βρώ το χρόνο, θα φροντίσω να ανακτήσω το χαμένο έδαφος, όσον αφορά τη γεωμετρία.

Καλημέρα.

[Φωτεινή]

Για το πρώτο:
Αρκεί να προσδιορίσουμε το κέντρο Κ του περιγραμμένου κύκλου στο τρίγωνο ΑΒΓ, που είναι εφικτό αν εργαστούμε στο ευθύγραμμο τμήμα ΑΜ=μ και λάβουμε υπ’ όψη ότι:
►
►

S.E.Louridas

[ypatia]

Καλημέρα σε όλους!

Πόσο θά 'θελα να μπορούσα να επιχειρηματολογήσω κόντρα στα σχόλιά σας! Δυστυχώς όμως η κατάσταση είναι τόσο γκρίζα που δεν αφήνει τέτοια περιθώρια...

Κατά τη γνώμη μου, ο εξοβελισμός σχεδόν της γεωμετρίας απ' το σχολείο, έχει συμβάλλει και μάλιστα σε μεγάλο βαθμό, στον ευνουχισμό της μαθηματικής φαντασίας του μαθητή...

Οι εποχές του Καραθεοδωρή, αλλά και των Κάππου, Αυδή, Λαδόπουλου, μάλλον έχουν περάσει ανεπιστρεπτί...

Επιτρέψτε μου να επαναλάβω την άποψή μου:
Οι Ελληνες Μαθηματικοί είναι άριστοι,όπως και οι προδιαγραφές των Ελλήνων Μαθητών.
Το περιβάλλον της Ελληνικής εκπαίδευσης έχει το πρόβλημα.Δηλαδή στο ΤΥΠΙΚΟΝ (λέξεις,λέξεις,......) πέρνουμε άριστα,ενώ στην ουσία που απορρέει από τους ''υπεύθυνους κρατικούς φορείς που σχεδιάζουν'' πάμε από το κακό στο χειρότερο.Δεν ειναι δυνατόν να πιστούμε οτι είμαστε άχρηστοι και άρα ήρθε η εποχή του μαστιγώματος γιά να βάλουμε μυαλό και μέχρι τότε ενα είδος μαύρης αγοράς να πλανάται πάνω από τα κεφάλια μας.Επαναλαμβάνω ότι,οι γείτονές μας οι Τούρκοι δίνουν τεράστια σημασία στην Μαθηματική απόδοση με διεθνή απήχηση των θετικών αποτελεσμάτων της προσπάθειας τους αυτής.

Σωτήρης

Πόσο δίκιο έχεις!

[ypatia]

Μετά τις ωραίες λύσεις του κ. Λουρίδα και για να επανέλθουμε στα θέματα με την διαφορά των γωνιών Β και Γ, θα προτείνω και το παρακάτω (κατά τη γνώμη μου κάπως δυσκολότερο) προβλημα κατασκευής.

Να κατασκευαστεί το τρίγωνο ΑΒΓ από την πλευρά του ΒΓ=α, τη διαφορά των γωνιών του Β και Γ, Β-Γ=φ και το γινόμενο των πλευρών του ΑΒ * ΑΓ = λ^2

[S.E.Louridas]

Κρατώντας ypatia το ΑΙΣΙΟΔΟΞΟ ΜΑΛΛΟΝ,
επιτρέψτε μου να δώσω μία υπόδειξη γιά την λύση του προβλήματος αυτού που κατά την αποψή μου αποτελεί μίας σπάνιας μαθηματικής ομορφιάς κατασκευή:

Αν θεωρήσουμε την διάμεσο AM και κατασκευάσουμε τρίγωνο ΑΜΔ (με τα B ,Δ να βρίσκονται εκατέρωθεν της ευθείας ΑΜ) όμοιο προς το τρίγωνο ΑΒΜ μετά από μερικές ισότητες προκύπτει ότι τα τρίγωνα ΒΑΔ και ΑΜΓ είναι όμοια οπότε, τελικά, Επίσης από την ομοιότητα των τριγώνων ΑΒΔ και ΑΜΓ έχουμε την ισότητα
που είναι σταθερή ποσότητα. Αρα το Δ είναι τέλεια ορισμένο. Εδώ επί της ουσίας το πρόβλημα τελείωσε…….

S.E.Louridas

[ypatia]

Κι εγώ συμφωνώ με τη γνώμη του κ. Λουρίδα, πως η παραπάνω εμφάνιση της Β-Γ=φ είναι όντως μια πολύ όμορφη γεωμετρική κατασκευή!

[ypatia]

Ακόμα ένα πρόβλημα γεωμετρικής κατασκευής, στο οποίο υπεισέρχεται η Β-Γ=φ

Να κατασκευαστεί το τρίγωνο ΑΒΓ από την πλευρά του ΒΓ=α, τη διαφορά των γωνιών του Β-Γ=φ και τον πόδα Δ επί την ΒΓ του ύψους ΑΔ.

[S.E.Louridas]

Μπορούμε να προσδιορίσουμε το μέσο Σ της πλευράς ΑΓ λαμβάνοντας υπ' όψη οτι βρίσκεται στην μεσοκάθετη του ΔΓ και ότι <ΔΣΜ=<Β -<Γ=φ, όπου Μ το μέσο (σταθερό σημείο) της πλευράς ΒΓ.....

S.E.Louridas

[Ανδρέας Πούλος]

Μερικά από αυτά που συζητάτε, τα περιέχει - προφανώς όχι μόνο αυτό - το πολύ χρήσιμο βιβλίο του Αρίστου Δημητρίου
"Μέθοδοι επιλύσεως γεωμετρικών προβλημάτων, με 1000 εφαρμογές και παραδείγματα",
1η έκδοση 1971, 2η έκδοση 1973, Αθήνα. Οι σελίδες από 18 μέχρι και 31 είναι όλες σχετικές με τις εμφανίσεις της γωνίας Β - Γ σε διάφορα γεωμετρικά προβλήματα.
Το βιβλίο αυτό το έχει σε μεγάλη εκτίμηση και ο Κώστας ο Βήτας, αν θυμάμαι καλά από συζήτηση που είχαμε.
Προσωπικά, το έχω συμβουλευτεί πολλές φορές.
Ο Δημητρίου ήταν πολιτικός μηχανικός, αλλά θα μπορούσε να ήταν εξαιρετικός δάσκαλος, ίσως να παρέδιδε και μαθήματα Γεωμετρίας, χωρίς να είμαι σίγουρος γι΄ αυτό.
Φιλικά,
Ανδρέας Πούλος