Το πράσινο εμβαδόν

#1

: Το πράσινο εμβαδόν.png (26.95 KiB) Προβλήθηκε 694 φορές

Το $\vartriangle ABC$ είναι ισόπλευρο . Να βρείτε το εμβαδόν του $\vartriangle SBC$ .

Έχει τριγωνομετρική αλλά και αμιγώς γεωμετρική λύση.

Henri van Aubel · #2

Ωραία άσκηση! Οι γωνίες επιτρέπουν εύκολη τριγωνομετρική λύση!

#3

Doloros έγραψε: ↑
Δευ Μάιος 29, 2023 11:08 am
Το πράσινο εμβαδόν.png
Το $\vartriangle ABC$ είναι ισόπλευρο . Να βρείτε το εμβαδόν του $\vartriangle SBC$ .

Έχει τριγωνομετρική αλλά και αμιγώς γεωμετρική λύση.

: Το πράσινο εμβαδόν.png (15.97 KiB) Προβλήθηκε 630 φορές

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Γιώργος Μήτσιος · #4

Καλημέρα! Μια προσπάθεια για Γεωμετρική λύση

: 30-5 Το πράσινο εμβαδόν.png (195.8 KiB) Προβλήθηκε 575 φορές

Τα όμοια τρίγωνα SAT

και

δίνουν $AB\cdot AS=AT^2\Rightarrow a\cdot AS=64$

Με το Πυθαγόρειο στο τρίγωνο ASH

(βλ. σχήμα) παίρνουμε $x=4\left ( \sqrt{3} -1\right )$ οπότε $a=\dfrac{64}{2x}=4\left ( \sqrt{3} +1\right )$

Βρίσκουμε $\left ( BAC \right )=\dfrac{a^2\sqrt{3}}{4}=16\sqrt{3}+24$ και $\left ( SAC \right )=a\cdot AS\cdot \dfrac{sin60^o}{2}=16\sqrt{3}$

συνεπώς $\left ( BSC \right )=\left ( BAC \right )-\left ( SAC \right )=24$ . Φιλικά, Γιώργος

#5

Doloros έγραψε: ↑
Δευ Μάιος 29, 2023 11:08 am
Το πράσινο εμβαδόν.png
Το $\vartriangle ABC$ είναι ισόπλευρο . Να βρείτε το εμβαδόν του $\vartriangle SBC$ .

Έχει τριγωνομετρική αλλά και αμιγώς γεωμετρική λύση.

Μία Γεωμετρική λύση.

Με

την πλευρά του ισοπλεύρου και

το ύψος του AST

είναι:

$\displaystyle AK + KT = 8 \Leftrightarrow \frac{{AS}}{2} + \frac{{AS\sqrt 3 }}{2} = 8 \Leftrightarrow$ $\boxed{AS = 8(\sqrt 3 - 1)}$ (1)

: Το πράσινο εμβαδόν.β.png (18.78 KiB) Προβλήθηκε 547 φορές

Αλλά, από τα όμοια τρίγωνα AST, ABT

είναι $\displaystyle AS = \frac{{64}}{a}\mathop \Leftrightarrow \limits^{(1)}$ $a=4(\sqrt 3+1),$ οπότε $\displaystyle BS = 4\sqrt 3 (\sqrt 3 - 1)$

και με αντικατάσταση, $\boxed{(BSC) = \frac{1}{2}BS \cdot \frac{{a\sqrt 3 }}{2} = 24}$

Μιχάλης Τσουρακάκης · #6

Doloros έγραψε: ↑
Δευ Μάιος 29, 2023 11:08 am
Το πράσινο εμβαδόν.png
Το $\vartriangle ABC$ είναι ισόπλευρο . Να βρείτε το εμβαδόν του $\vartriangle SBC$ .

Έχει τριγωνομετρική αλλά και αμιγώς γεωμετρική λύση.

Η κάθετη στην

στο

τέμνει την

στο

και το

είναι εγγράψιμο με AT=AD=8

και $DT=8 \sqrt{2}$

Προφανώς $\angle STB=30^0$ άρα $DB=4 \sqrt{2} ,BT=4 \sqrt{6}$ κι από Πτολεμαίο παίρνουμε $a=4( \sqrt{3} +1)$

$64=AS.4( \sqrt{3} +1) \Rightarrow AS= \dfrac{16}{ \sqrt{3}+1 } \Rightarrow BS= \dfrac{8 \sqrt{3} }{ \sqrt{3} +1}$

Από τον τύπο 2(CBS)=BS.a.sin60^0

εύκολα

: Πράσινο εμβαδόν.png (22.69 KiB) Προβλήθηκε 520 φορές

STOPJOHN · #7

Doloros έγραψε: ↑
Δευ Μάιος 29, 2023 11:08 am
Το πράσινο εμβαδόν.png
Το $\vartriangle ABC$ είναι ισόπλευρο . Να βρείτε το εμβαδόν του $\vartriangle SBC$ .

Έχει τριγωνομετρική αλλά και αμιγώς γεωμετρική λύση.

Κατασκευάζω τον περικυκλο του τριγώνου ABT

Τότε $\hat{AOT}=2\hat{ABC}=90^{0},$ Οπότε $2R^{2}=8\Leftrightarrow R=4\sqrt{2},$

Στο ισοσκελές τρίγωνο OAB

από νόμο συνιμητόνων είναι $a=4\sqrt{4+2\sqrt{3}},$

Το εμβαδόν του τριγώνου ASC

όπως εχει αποδειχθεί τριγωνομετρικά η Γεωμετρικά σε

προηγούμενες αναρτήσεις $(SBC)=(ABC)-(ASC)=8\sqrt{3}(2+\sqrt{3})-16\sqrt{3}=24$

Ιστοσελίδα · #8

Doloros έγραψε: ↑
Δευ Μάιος 29, 2023 11:08 am

Το $\vartriangle ABC$ είναι ισόπλευρο . Να βρείτε το εμβαδόν του $\vartriangle SBC$ .

Έχει τριγωνομετρική αλλά και αμιγώς γεωμετρική λύση.

: 2023-06-04_8-54-27.jpg (74.38 KiB) Προβλήθηκε 421 φορές

Το πράσινο εμβαδόν

Το πράσινο εμβαδόν

Re: Το πράσινο εμβαδόν

Re: Το πράσινο εμβαδόν

Re: Το πράσινο εμβαδόν

Re: Το πράσινο εμβαδόν

Re: Το πράσινο εμβαδόν

Re: Το πράσινο εμβαδόν

Re: Το πράσινο εμβαδόν

Μέλη σε σύνδεση