Εξ- άσκηση

KARKAR · #1

: Εξ-άσκηση.png (29.31 KiB) Προβλήθηκε 248 φορές

Ο κύκλος

εφάπτεται στις κορυφές B , C

του ισοπλεύρου τριγώνου ABC

. Το

είναι το μέσο

της

και το τρίγωνο MST

, έχει πλευρές παράλληλες προς το αρχικό . Τέλος η παράλληλη από

το

προς την

τέμνει τις προεκτάσεις των πλευρών AB , AC

, στα σημεία D , E

αντίστοιχα .

Να βρεθεί το τμήμα

συναρτήσει της

και να συγκριθούν τα εμβαδά : (ABC)

και

.

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Φεβ 14, 2024 1:41 pm
Εξ-άσκηση.pngΟ κύκλος εφάπτεται στις κορυφές του ισοπλεύρου τριγώνου . Το είναι το μέσο

της και το τρίγωνο , έχει πλευρές παράλληλες προς το αρχικό . Τέλος η παράλληλη από

το προς την τέμνει τις προεκτάσεις των πλευρών , στα σημεία αντίστοιχα .

Να βρεθεί το τμήμα συναρτήσει της και να συγκριθούν τα εμβαδά : και .

$\displaystyle a = \frac{{AO\sqrt 3 }}{2} = R\sqrt 3 \Leftrightarrow R = \frac{a}{{\sqrt 3 }},$ άρα $\boxed{BD=\frac{a}{3}}$ Είναι ακόμα $DE=\dfrac{4a}{3}.$

: Εξ-άσκηση.png (20.35 KiB) Προβλήθηκε 174 φορές

Αν

η πλευρά του ισοπλεύρου MST,

τότε: $\displaystyle SN \cdot NT = {R^2} - O{N^2} \Leftrightarrow \frac{{{x^2}}}{4} = \frac{{{a^2}}}{3} - {\left( {\frac{{x\sqrt 3 }}{2} - \frac{a}{{2\sqrt 3 }}} \right)^2} \Leftrightarrow 4{x^2} - 6ax - 3{a^2} = 0,$

απ' όπου $\displaystyle x = \frac{a}{4}\left( {\sqrt 5 + 1} \right).$ Αντικαθιστώντας τώρα τις τιμές, βρίσκω, μετά τις πράξεις, το εμβαδόν τραπεζίου

$\displaystyle (DSTE) = \frac{{{a^2}\sqrt 3 \left( {13 + 27\sqrt 5 } \right)}}{{288}},$ οπότε $\boxed{ \frac{{(ABC)}}{{(DSTE)}} = \frac{{72}}{{13 + 27\sqrt 5 }} < 1}$

Πράγματι, θα δείξω ότι $\displaystyle 13 + 27\sqrt 5 > 73 \Leftrightarrow 27\sqrt 5 > 60 \Leftrightarrow 9\sqrt 5 > 20 \Leftrightarrow 405 > 400,$ που ισχύει.

Εξ- άσκηση

Εξ- άσκηση

Re: Εξ- άσκηση

Μέλη σε σύνδεση