Ισοεδρικό τετράεδρο

[Al.Koutsouridis]

Ορισμός. Θα ονομάσουμε ένα τετράεδρο ισοεδρικό, αν όλες οι έδρες του είναι ίσα μεταξύ τους τρίγωνα.

Την ύπαρξη τέτοιων τετραέδρων μπορούμε να την φανταστούμε έυκολα με την ακόλουθη κατασκευή. Κατασκευάζουμε ένα οξυγώνιο τρίγωνο και φέρουμε σε αυτό τις μεσοπαράλληλες ευθείες . Διπλώνουμε αυτό το τρίγωνο κατά μήκος των μεσοπαραάλληλων ευθειών, ώστε οι κορυφές να συμπέσουν. Ως αποτέλσμα προκύπτει ένα τετράεδρο με ίσες μεταξύ τους έδρες, από το τρίτο κριτήριο ισότητας τριγώνων.

Screenshot 2024-03-04 at 20.47.00.png (25.31 KiB) Προβλήθηκε 320 φορές

Screenshot 2024-03-04 at 20.48.50.png (24.22 KiB) Προβλήθηκε 320 φορές

Να αποδείξετε τις παρακάτω προτάσεις και ιδιότητες των ισοεδρικών τετράεδρων.

1. Ικανή και αναγκαία συνθήκη για να είναι ένα τετράεδρο ισοεδρικό, είναι η ανά δυο ισότητα απέναντι ακμών. ( )

2. Όλες οι επίπεδες γωνίες ισοεδρικού τετράεδρου είναι οξείες.

3. Ικανή και αναγκαία συνθήκη να είναι ένα τετράεδρο ισοεδρικό είναι, οι διδιάμεσοι (τα τμήματα που ενώνουν τα μέσα απέναντι ακμών) του να είναι οι κοινές κάθετοι απέναντι ακμών του.

4. Ικανή και αναγκαία συνθήκη να είναι ένα τετράεδρο ισοεδρικό είναι, οι εδρες του να είναι ισοεμβαδικές.

5. Ικανή και αναγκαία συνθήκη να είναι ένα τετράεδρο ισοεδρικό είναι, το κέντρο της περιγεγραμμένης σφαίρας του να συμπίπτει με το κεντροειδές (σημείο τομής των διαμέσων) του .

[george visvikis]

Να αποδείξετε τις παρακάτω προτάσεις και ιδιότητες των ισοεδρικών τετράεδρων.

1. Ικανή και αναγκαία συνθήκη για να είναι ένα τετράεδρο ισοεδρικό, είναι η ανά δυο ισότητα απέναντι ακμών. ( )

2. Όλες οι επίπεδες γωνίες ισοεδρικού τετράεδρου είναι οξείες.

3. Ικανή και αναγκαία συνθήκη να είναι ένα τετράεδρο ισοεδρικό είναι, οι διδιάμεσοι (τα τμήματα που ενώνουν τα μέσα απέναντι ακμών) του να είναι οι κοινές κάθετοι απέναντι ακμών του.

1. Αν τότε τα τρίγωνα είναι ίσα, άρα το

τετράεδρο είναι ισοεδρικό. Αντίστροφα, έστω ότι δύο έδρες π. χ είναι ίσα τρίγωνα, τότε επειδή έχουν

κοινή ακμή θα είναι ή . Αν ισχύει το πρώτο, θα είναι

που αποδεικνύει το ζητούμενο. Αν ιχύει το δεύτερο, τότε τα τρίγωνα είναι ισοσκελή, οπότε

από την ισότητά των εδρών θα είναι και ολοκληρώνεται η απόδειξη.

Ισοεδρικό τετράεδρο.1.png (12.86 KiB) Προβλήθηκε 239 φορές

2. Λόγω των ίσων εδρών είναι

Θα χρησιμοποιήσω την ιδιότητα ότι σε κάθε τρίεδρη γωνία καθεμία από τις επίπεδες γωνίες είναι μικρότερη του

αθροίσματος των άλλων δύο. Για την τρίεδρη γωνία με κορυφή είναι και αυτό

ισχύει για όλες τις γωνίες της έδρας και ομοίως για όλες τις έδρες του τετραέδρου.

Ισοεδρικό τετράεδρο.2.png (17.38 KiB) Προβλήθηκε 236 φορές

3. Έστω τα μέσα των αντίστοιχα. Αν το είναι ισοεδρικό, τότε επειδή τα τρίγωνα

είναι ίσα, όπως και τα θα είναι και

Άρα, και Άρα η είναι κοινή κάθετος των ομοίως και για τις άλλες

διδιαμέσους. Αντίστροφα, Αν η είναι κοινή κάθετος των τότε τα σημεία είναι συμμετρικά ως

προς άξονα όπως και τα Άρα και Ομοίως θα είναι και

οπότε σύμφωνα με την ιδιότητα (1), το τετράεδρο είναι ισοεδρικό.



Συνεχίζεται...

[george visvikis]

Να αποδείξετε τις παρακάτω προτάσεις και ιδιότητες των ισοεδρικών τετράεδρων.

4. Ικανή και αναγκαία συνθήκη να είναι ένα τετράεδρο ισοεδρικό είναι, οι εδρες του να είναι ισοεμβαδικές.

5. Ικανή και αναγκαία συνθήκη να είναι ένα τετράεδρο ισοεδρικό είναι, το κέντρο της περιγεγραμμένης σφαίρας του να συμπίπτει με το κεντροειδές (σημείο τομής των διαμέσων) του .

4. Αν το τετράεδρο είναι ισοεδρικό τότε οι έδρες τους είναι ίσες, άρα προφανώς θα έχουν και ίσα εμβαδά. Αντίστροφα ,

έστω ένα τετράεδρο, η κοινή κάθετος των όπως φαίνεται στο σχήμα.4 και οι προβολές

των αντίστοιχα στην Επειδή τα τρίγωνα έχουν ίσα εμβαδά και κοινή την θα είναι

Φέρνω επίπεδο κάθετο στην σε ένα σημείο της προέκτασής της και σημειώνω με

τις προβολές των αντίστοιχα στο Αφού θα είναι άρα το είναι μέσο του

οπότε και το θα είναι μέσο του Με ανάλογο τρόπο αποδεικνύεται ότι το είναι μέσο του Ομοίως

και για τις κοινές καθέτους των άλλων απέναντι ακμών. Επομένως, από την ιδιότητα (3) το τετράεδρο θα είναι ισοεδρικό.

Ισοεδρικό τετράεδρο.3.png (44.4 KiB) Προβλήθηκε 198 φορές

5. Έστω τα μέσα των ακμών ισοεδρικού τετραέδρου (σχήμα.5). Οι διδιάμεσοι

έχουν κοινό μέσο το βαρύκεντρο του τετραέδρου. Επειδή όμως είναι και κοινές κάθετοι των

απέναντι ακμών, θα είναι Άρα το ταυτίζεται με το περίκεντρο του τετραέδρου.

Αντίστροφα, αν τα σημεία ταυτίζονται τότε κι επειδή τα

είναι μέσα των ακμών, από τα ισοσκελή τρίγωνα που προκύπτουν, οι θα είναι κοινές

κάθετοι των απέναντι ακμών, άρα το τετράεδρο θα είναι ισοεδρικό.

[Al.Koutsouridis]

Θα ήθελα να ευχαριστήσω τον κ. Γιώργο για τις λύσεις, τα σχήματα και τον χρόνο που διέθεσε. Από την πλευρά μου, το κίνητρο για αυτά τα βασικά θέματα της γεωμετρίας του τετράεδρου δεν ήταν τόσο η πρωτοτυπία, καθώς μπορούν να βρεθούν σε πολλά βιβλία στερεομετρίας, αλλά η απουσία αναφοράς στο ελληνικό διαδίκτυο. Καλώς ή κακώς το πρώτο μέσο που θα ψάξει κανείς σήμερα για ανεύρεση πληροφορίας σε κάποιο θέμα είναι το διαδίκτυο. Παρατήρησα ότι αν ψάξει κανείς για ορθοκεντρικό, ισοεδρικά, ισοδυναμικά, ημιπεριγεγραμμένα κτλ. τετράεδρα δε θα βρει σχεδόν τίποτα, αν και υπάρχουν αναφορές σε αυτά σε βιβλία. Αν βρω χρόνο, θα συνεχίσω με μερικά ακόμη νήματα.