Λογάριθμος

KARKAR · #1

: Λογάριθμος.png (6.36 KiB) Προβλήθηκε 395 φορές

$\bigstar$ Τα σημεία M , N

είναι μέσα των πλευρών BC , CD

του - πλευράς

- τετραγώνου ABCD

.

α) Υπολογίστε τον λόγο : $\dfrac{DS}{ST}$ ... β) Υπολογίστε τα μήκη των τμημάτων : DS , ST , TM

.

γ) Είναι άραγε το πράσινο εμβαδόν ίσο με το άθροισμα των δύο μοβ ;

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Απρ 29, 2024 8:55 am
Λογάριθμος.png $\bigstar$ Τα σημεία είναι μέσα των πλευρών του - πλευράς - τετραγώνου .

α) Υπολογίστε τον λόγο : $\dfrac{DS}{ST}$ ... β) Υπολογίστε τα μήκη των τμημάτων : .

γ) Είναι άραγε το πράσινο εμβαδόν ίσο με το άθροισμα των δύο μοβ ;

α,β) Πάω πρώτα στο δεύτερο ερώτημα για να αποφύγω διπλό κόπο.

Με Π.Θ βρίσκω $DM=AN=\dfrac{a\sqrt 5}{2}.$ Εξάλλου, $\displaystyle \frac{{DT}}{{TM}} = \frac{{AT}}{{TC}} = \frac{{AD}}{{CM}} = 2.$ Άρα, $\boxed{TM = \frac{{a\sqrt 5 }}{6}}$

Από τα όμοια τρίγωνα DNS, DMC,

είναι $\displaystyle DS \cdot DM = DN \cdot DC \Leftrightarrow DS\frac{{a\sqrt 5 }}{2} = \frac{{{a^2}}}{2} \Leftrightarrow$ $\boxed{DS = \frac{{a\sqrt 5 }}{5}}$

: Λογάριθμος.png (15.89 KiB) Προβλήθηκε 296 φορές

Εύκολα τώρα, $\boxed{ST=\frac{2a\sqrt 5}{15}}$ και $\boxed{\frac{{DS}}{{ST}} = \frac{3}{2}}$

γ) $\displaystyle (DNS) + (CTM) = (DCM) - (NSTC) = (ADN) - (NSTC) = (ANC) - (NSTC) = (AST)$

#3

Αφήνοντας στην άκρη τους υπολογισμούς:
Με την βοήθεια και των άλλων δύο τετραγώνων καθώς και από τις αναλογίες που προκύπτουν, έχουμε:
$\dfrac{DS}{ST}=\dfrac{DE}{AT}=\dfrac{3}{2}$ καθώς $\dfrac{AT}{TC}=\dfrac{AD}{MC}=2$ .
Καθώς (ANC)=(DCM)=(ABCD)/4

, αφαιρώντας το κοινό μέρος (NSTC)

η απάντηση στο γ είναι θετική.

: geogebra-export.png (456.89 KiB) Προβλήθηκε 239 φορές

Μιχάλης Τσουρακάκης · #4

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Απρ 29, 2024 8:55 am
Λογάριθμος.png $\bigstar$ Τα σημεία είναι μέσα των πλευρών του - πλευράς - τετραγώνου .

α) Υπολογίστε τον λόγο : $\dfrac{DS}{ST}$ ... β) Υπολογίστε τα μήκη των τμημάτων : .

γ) Είναι άραγε το πράσινο εμβαδόν ίσο με το άθροισμα των δύο μοβ ;

$2= \dfrac{AD}{CM} = \dfrac{AT}{TC}= \dfrac{ST}{TQ}$ και $4= (\dfrac{AD}{DN})^2= \dfrac{AS}{SN}$ .

Ακόμη, DS=SQ

και

(αφού $\triangle DNS= \triangle CQM$ )

Με τους συμβολισμούς του σχήματος έχουμε $\dfrac{DS}{ST}= \dfrac{3m}{2m}= \dfrac{3}{2}$ και

$\dfrac{DT}{TM} =2= \dfrac{5m}{m+n} \Rightarrow n= \dfrac{3m}{2} \Rightarrow DM= \dfrac{15m}{2}$

Με Π.Θ στο $\triangle DMC \Rightarrow m= \dfrac{a \sqrt{5} }{15}$ άρα

$DS= \dfrac{a \sqrt{5} }{3} ,ST=\dfrac{2a \sqrt{5} }{15},TM= \dfrac{a \sqrt{5} }{6}$

$\dfrac{(DSN)}{(SAT)} = \dfrac{3mn}{8mn}= \dfrac{3}{8}$ και $\dfrac{(CTM)}{(SAT}= \dfrac{k \dfrac{5}{2}m }{4km}= \dfrac{5}{8}$

Με πρόσθεση προκύπτει (SAT)}= (DSN)}+(CTM)

: λογάριθμος.png (14.98 KiB) Προβλήθηκε 206 φορές

STOPJOHN · #5

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Απρ 29, 2024 8:55 am
Λογάριθμος.png $\bigstar$ Τα σημεία είναι μέσα των πλευρών του - πλευράς - τετραγώνου .

α) Υπολογίστε τον λόγο : $\dfrac{DS}{ST}$ ... β) Υπολογίστε τα μήκη των τμημάτων : .

γ) Είναι άραγε το πράσινο εμβαδόν ίσο με το άθροισμα των δύο μοβ ;

Eστω

τότε από το Πυθαγόρειο Θεώρημα στο τρίγωνο $DCM,x+y+z=\dfrac{a\sqrt{5}}{2},(1),$

Εφόσον NC=CM,NA=AM,

, η

είναι μεσοκάθετη στο τμήμα

και $NK=KM=\dfrac{a\sqrt{2}}{4},$ Το τετράπλευρο NSTK

είναι εγγράψιμο γιατί $\hat{NKT}=90,\hat{NMS}=\hat{NAK}$
άρα $\hat{NST}=90^{0},$
Από μετρικές σχέσεις στο ορθογώνιο τρίγωνο $DNA ,AS=\dfrac{2a\sqrt{5}}{5},(2),SN=\dfrac{a\sqrt{5}}{10},x=\dfrac{a\sqrt{5}}{5},(3), (1),(2),(3)\Rightarrow y+z=\dfrac{3\sqrt{5}a}{10},$

Από τα όμοια τρίγωνα $AST,ANK,y=\dfrac{2a\sqrt{5}}{15},z=\dfrac{a\sqrt{5}}{6},$
Για το δεύτερο ερώτημα

$(AST)=\dfrac{1}{2}AS.ST=\dfrac{2a^{2}}{15}, (ASN)+(TCM)=\dfrac{a^{2}}{20}+\dfrac{a^{2}}{12}=\dfrac{2a^{2}}{15}, (AST)=(DSN)+(TCM)$

Ιστοσελίδα · #6

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Απρ 29, 2024 8:55 am
$\bigstar$ Τα σημεία είναι μέσα των πλευρών του - πλευράς - τετραγώνου .

α) Υπολογίστε τον λόγο : $\dfrac{DS}{ST}$ ... β) Υπολογίστε τα μήκη των τμημάτων : .

γ) Είναι άραγε το πράσινο εμβαδόν ίσο με το άθροισμα των δύο μοβ ;

: shape.png (19 KiB) Προβλήθηκε 98 φορές

Με πλευρά τετραγώνου

ισχύει:

α) $\dfrac{{DS}}{{ST}} = \dfrac{{6k}}{{4k}} = \dfrac{3}{2}$

β) $DS = 6k = \dfrac{{4a\sqrt 5 }}{5}$ , $ST = 4k = \dfrac{{8a\sqrt 5 }}{{15}}$ , $TM = 5k = \dfrac{{2\sqrt 5 a}}{3}$

γ) Προφανώς ισχύει γιατί (ANC) = (DCM)

, αφαιρώντας την κοινή περιοχή.

Λογάριθμος

Λογάριθμος

Re: Λογάριθμος

Re: Λογάριθμος

Re: Λογάριθμος

Re: Λογάριθμος

Re: Λογάριθμος

Μέλη σε σύνδεση