Aνισοτητα

#1

Σε κάθε τρίγωνο ισχύει:
$\displaystyle{\displaystyle 4\upsilon _\alpha ^2 \leqslant \left( {\beta + \gamma } \right)^2 - a^2 }$ .

#2

Θα χρησιμοποιήσουμε το γνωστό τύπο

$\upsilon_a=\displaystyle\frac{2}{a}\sqrt{\tau(\tau-\alpha)(\tau-\beta)(\tau-\gamma)}$ οπότε η προς απόδειξη σχέση γίνεται

$4\cdot \displaystyle\frac{4}{\alpha^2}\tau(\tau-\alpha)(\tau-\beta)(\tau-\gamma) \leq 4\tau(\tau-\alpha) \Longleftrightarrow$

$4(\tau-\beta)(\tau-\gamma) \leq \alpha^2 \Longleftrightarrow$

$4\cdot\displaystyle\frac{\alpha+\gamma-\beta}{2}\cdot\frac{\alpha+\beta-\gamma}{2}\leq a^2 \Longleftrightarrow$
$\left[\alpha+(\beta-\gamma)\right]\left[\alpha-(\beta-\gamma)\right] \leq a^2 \Longleftrightarrow$

$\alpha^2 - (\beta-\gamma)^2 \leq a^2 \Longleftrightarrow$
$(\beta-\gamma)^2 \geq 0$ .

που ισχύει.

Αλέξανδρος

Χρηστος · #3

Πάρα πολύ καλή η δουλειά σου Χρήστο
Λύση στο συνημμένο .

#4

Μια γεωμετρικη λυση: εστω ΑΒΓ το τριγωνο και ΑΔ το υψος, φερουμε την καθετο επι της ΒΓ στο Β και λαμβανουμε Β' επ' αυτης τετοιο ωστε |ΒΒ'| = 2|ΑΔ|^ παρατηρουμε οτι το ΒΑΒ' ειναι ισοσκελες με |ΑΒ| = |ΑΒ'| = β, οποτε η ανισοτητα προκυπτει απο το Πυθαγορειο Θεωρημα στο ΒΓΒ' και την Τριγωνικη Ανισοτητα στο ΑΓΒ'

nicolae · #5

Γενικότερα είναι:
$u_{\alpha}\leq\delta_{\alpha}\leq\sqrt{\tau(\tau-\alpha)}$

Aνισοτητα

Aνισοτητα

Re: Aνισοτητα

Re: Aνισοτητα

Re: Aνισοτητα

Re: Aνισοτητα

Μέλη σε σύνδεση