Ορθογώνιο τρίγωνο

polysindos · #1

Το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο (Α=90) με περίμετρο 152cm.Αν ο κύκλος με κέντρο Ο ,σημείο της ΑΒ και ακτίνα 19cm εφάπτεται της ΑΓ στο σημείο Α και της ΒΓ στο σημειο Τ,να υπολογίσετε το μήκος της ΟΒ.

kostas136 · #2

Μια απόπειρα στο όμορφο πρόβλημα. Το σημείο

ισαπέχει από τις AC, BC

άρα ανήκει στην διχοτόμο της $\hat C.$ Ισχύει $\bigtriangleup{OBT}\sim {\bigtriangleup{ABC}},$ οπότε: $\displaystyle \frac{OB}{a}=\frac{OT}{b}=\frac{BT}{c}\Rightarrow \frac{c-19}{a}=\frac{19}{b}=\frac{a-b}{c}=\frac{a+c-b}{152}\Rightarrow \frac{19}{b}=\frac{152-2b}{152}\Rightarrow \left(b-38 \right)^{2}=0\Rightarrow b=38.$

Όμως από θεώρημα εσωτερικής διχοτόμου προκύπτει:

$\displaystyle \frac{19}{OB}=\frac{b}{a}\Rightarrow \frac{19}{OB+19}=\frac{b}{a+b}\Rightarrow \frac{19}{c}=\frac{b}{a+b}\Rightarrow \frac{19}{c}=\frac{38}{152-c}\Rightarrow 2c=152-c\Rightarrow c=\frac{152}{3}\Rightarrow OB=\frac{152}{3}-19=\frac{95}{3}$

polysindos · #3

Καταπληκτική λύση

#4

Επιστρέφοντας από σχεδόν δίμηνη αποχή από καθετί που έχει πλήκτρα (πλην κινητού),
εύχομαι ΚΑΛΗ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ σε όλους τους μάχιμους εκπαιδευτικούς και τους μαθητές
και ξεκινώ με μια ακόμα λύση στην άσκηση του polysindou.

Αρχικά, για να απλοποιήσω τις πράξεις μεταφέρω το αρχικό πρόβλημα σε όμοιο σχήμα με σμίκρυνση με λόγο 19 : 1. Οπότε η περίμετρός μας είναι 8 και η ακτίνα 1.

: 31-08-2010 geometry.png (15.82 KiB) Προβλήθηκε 548 φορές

Είναι (ΑΟΓ) + (ΒΟΓ) = (ΑΒΓ) οπότε: $\displaystyle \frac{\beta }{2} + \frac{\alpha }{2} = \frac{{\beta \gamma }}{2}\; \Leftrightarrow \;\;\beta + \alpha = \beta \gamma$ (1)
Όμως, $\displaystyle \alpha + \beta + \gamma = 8\; \Leftrightarrow \;\beta + \alpha = 8 - \gamma$ (2)
Από (1) και (2) προκύπτει ότι: $\displaystyle 8 - \gamma = \beta \gamma \; \Leftrightarrow \;\gamma = \frac{8}{{\beta + 1}}$ (3)
Επίσης: $\displaystyle \beta + \gamma = 8 - \alpha \; \Rightarrow \;\beta ^2 + \gamma ^2 + 2\beta \gamma = 64 + \alpha ^2 - 16\alpha$ (4)

Από Πυθ. Θεώρημα στο ΑΒΓ είναι: $\displaystyle \alpha ^2 = \beta ^2 + \gamma ^2$ , οπότε η (4) γράφεται:
$\displaystyle 2\beta \gamma = 64 - 16\alpha \;\; \Leftrightarrow \;\;8\alpha = 32 - \beta \gamma$ και λόγω της (3): $\displaystyle 8\alpha = 32 - \frac{{8\beta }}{{\beta + 1}}\;\; \Leftrightarrow \;\;\alpha = 4 - \frac{\beta }{{\beta + 1}}$ (5).

Τότε, από (2), (3) και (5) έχουμε:

$\displaystyle \alpha + \beta + \gamma = 8\Rightarrow 4 - \frac{\beta }{{\beta + 1}} + \beta + \frac{8}{{\beta + 1}} = 8 \Leftrightarrow \frac{{8 - \beta }}{{\beta + 1}} = 4 - \beta \Leftrightarrow \beta ^2 - 4\beta + 4 = 0$ , που έχει μοναδική λύση $\displaystyle \beta = 2,\;\alpha = \frac{{10}}{3},\;\gamma = \frac{8}{3}$ .

Οπότε: $\displaystyle {\rm O}{\rm B} = \frac{8}{3} - 1 = \frac{5}{3}$ . Στο αρχικό πρόβλημα: $\displaystyle {\rm O}{\rm B} = \frac{5}{3} \cdot 19 = \frac{{95}}{3}$

Γιώργος Ρίζος

Ορθογώνιο τρίγωνο

Ορθογώνιο τρίγωνο

Re: Ορθογώνιο τρίγωνο

Re: Ορθογώνιο τρίγωνο

Re: Ορθογώνιο τρίγωνο

Μέλη σε σύνδεση