Ελάχιστο εμβαδόν

KARKAR · #1

Ευθεία διερχόμενη από το σημείο S(5,2)

, τέμνει τον άξονα xx'

στο

, και την ευθεία y=x

στο

Βρείτε το ελάχιστο εμβαδόν του τριγώνου OAB

,(

η αρχή των αξόνων).

Συμπλήρωση : Τα A , B

, δεν μπορούν να πλησιάσουν το

, πέραν των θέσεων A' , B '

του σχήματος

Γιώργος Απόκης · #2

Παρατηρούμε ότι αν η ευθεία είναι η $\displaystyle{y=\frac{2}{5}x}$ , τότε τα Α,Β ταυτίζονται με το Ο, άρα το εμβαδόν είναι μηδέν.

Edit: Η λύση αυτή αφορούσε στην αρχική εκφώνηση... Θα επανέλθω

Γιώργος Απόκης · #3

Σε πμ ο θεματοθέτης "εκμυστηρεύτηκε" ότι υπάρχει γεωμετρικός τρόπος αντιμετώπισης... Θα κάνω μια απόδειξη διαφορετική και
σίγουρα πιο χρονοβόρα:

Έστω ε η ευθεία

. Tότε $(OAB)=E=(OA{'}SB{'})+(BB{'}S)+(SAA{'})=6+E_1+E_2$ (1). Διακρίνω δύο περιπτώσεις:

α) Η ε είναι κατακόρυφη
Τότε $(\epsilon): x=5$ , άρα A(5,0),B(5,5)

και $E_1=2,E_2=\frac{9}{2}$ . Άρα $E=\frac{25}{2}$ .

β) Η ε δεν είναι κατακόρυφη
Aν λ ο συντελεστής διεύθυνσης, ισχύει $\lambda<0$ ή $\lambda>1$ . Τότε $\displaystyle{(\epsilon):y-2=\lambda(x-5)}$ . Για τα σημεία Α,Β προκύπτουν

$\displaystyle{A\left(\frac{5\lambda-2}{\lambda},0\right)}$ και $\displaystyle{B\left(\frac{5\lambda-2}{\lambda-1},\frac{5\lambda-2}{\lambda-1}\right)}$ και $\displaystyle{E_1=\frac{9\lambda}{2(\lambda-1)},E_1=\frac{2\lambda-2}{\lambda}}$ . Αντικαθιστώντας στην (1):

$\displaystyle{E=\frac{(5\lambda-2)^2}{2\lambda(\lambda-1)},\lambda \in (-\infty,0)\cup(1,+\infty)}$ . Θα αναζητήσω το σύνολο τιμών της

.

(*) Για $\lambda \in (-\infty,0)$ : Έχω $\displaystyle{(2\lambda^2-2\lambda)E=(5\lambda-2)^2\Leftrightarrow (2E-25)\lambda^2+(20-2E)\lambda-4=0}$ (2).

Για $E=\frac{25}{2}$ έχουμε την περίπτωση της κατακόρυφης... Άρα, πρέπει για τη (2) να ισχύει $\Delta \geq 0 \Leftrightarrow$

$\displaystyle{\Leftrightarrow (20-2E)^2+16(2E-25) \geq 0 \Leftrightarrow ... \Leftrightarrow 4E(E-12)\geq 0 \overset{E>0}\Leftrightarrow E \geq 12}$ .

(**) Για $\lambda \in (1,+\infty)$ με παρόμοια διαδικασία η Ε δεν παρουσιάζει ακρότατο.

Άρα, η ελάχιστη τιμή είναι $E_{min}=12<\frac{25}{2}$ που προκύπτει για $\lambda=-2$ .

KARKAR · #4

Λήμμα : Αν από σημείο

, εσωτερικό της γωνίας φέρω τέμνουσα ASB

, τότε : $\displaystyle \frac{1}{E_{1}}+\frac{1}{E_{2}}(=\frac{E_{1}+E_{2}}{E_{1}E_{2}}$ ) = σταθερό .

Πράγματι : $\displaystyle \frac{E_{1}+E_{2}}{E_{1}E_{2}}=\frac{\frac{OA{\cdot}BC}{2}}{\frac{OA{\cdot}SD}{2}{\cdot}{\frac{OB{\cdot}SE}{2}}}=\frac{2BC}{SD{\cdot}SE{\cdot}OB}=\frac{2}{SD{\cdot}SE}sin\phi$ , που είναι σταθερό .

Στο θέμα μας ... Επειδή $\displaystyle \frac{E_{1}+E_{2}}{E_{1}E_{2}}$ σταθερό το $E_{1}+E_{2}$ γίνεται ελάχιστο όταν το $\displaystyle \frac{1}{E_{1}}\frac{1}{E_{2}}$ γίνει μέγιστο ,

και αυτό συμβαίνει όταν $E_{1}=E_{2}$ . Αυτό , τώρα, επιτυγχάνεται αν

διάμεσος του $\displaystyle ABC$ ,

δηλαδή αν AS=SB

, και επειδή εύκολα διαπιστώνουμε ότι B{'}=(2,2)

θα βρούμε B=(4,4)

και

,

οπότε $(ABC)_{min}=12$ .

parmenides51 · #5

Το παραπάνω λήμμα το έχουμε ξαναδεί με ζητούμενο ελάχιστο άθροισμα εδώ και μόνο του εδώ.

Ελάχιστο εμβαδόν

Ελάχιστο εμβαδόν

Re: Ελάχιστο εμβαδόν

Re: Ελάχιστο εμβαδόν

Re: Ελάχιστο εμβαδόν

Re: Ελάχιστο εμβαδόν

Μέλη σε σύνδεση