Σταθερό γινόμενο

KARKAR · #1

: Σταθερό γινόμενο.png (6.64 KiB) Προβλήθηκε 507 φορές

O κύκλος με εξίσωση x^2-2kx+y^2+1=0 , k >1

, τέμνεται από

την ευθεία $y=\lambda x$ , στα σημεία S , T

. Δείξτε ότι $(OS) \cdot ( OT)=1$

margavare · #2

Τα σημεία $A\left( {a,0} \right)\quad B\left( {b,0} \right)$ τομής του κύκλου με τον οριζόντιο άξονα έχουν τετμημένες τις λύσεις της εξίσωσης ${x^2} - 2kx + 1 = 0$ .
Άρα $a \cdot b = 1$

$\left( {OS} \right) \cdot \left( {OT} \right) = \left( {OA} \right) \cdot \left( {OB} \right) = a \cdot b = \frac{1}{1} = 1$

kostas_zervos · #3

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

#4

Καλημέρα.

: Γινόμενο ένα.png (13.28 KiB) Προβλήθηκε 481 φορές

Η εξίσωση του κύκλου γράφεται : ${x^2} - 2kx + {k^2} + {y^2} = {k^2} - 1\,\,\,,k > 1$ . Δηλαδή :

${(x - k)^2} + {y^2} = {(\sqrt {{k^2} - 1} )^2}\,\,\,,k > 1$ . Έχει λοιπόν κέντρο το σημείο K(k,0)

και ακτίνα

$r = \sqrt {{k^2} - 1}$ . Αν τώρα το ημικύκλιο διαμέτρου

κόψει τον πιο πάνω κύκλο στο

σημείο

προφανώς $\widehat {OAK} = {90^0}$ , γιατί βαίνει σε ημικύκλιο και άρα

$O{A^2} = O{K^2} - K{A^2} = {k^2} - {r^2} = 1 \Rightarrow \boxed{OA = 1}$ . Όμως το

ως κάθετο στο άκρο της

ακτίνας

είναι εφαπτόμενο τμήμα του κύκλου . Έτσι για κάθε ευθεία με εξίσωση

$y = \lambda x$ με $\lambda$ = πραγματική παράμετρος με την προϋπόθεση ότι τέμνει τον κύκλο

(K,r)

στα σημεία S,T

, αφού θα περνά από την αρχή O(0,0)

θα ισχύει λόγω της

δύναμης του σημείου

ως προς τον κύκλο (K,r)

:

$OS \cdot OT = O{A^2} \Rightarrow \boxed{OS \cdot OT = 1}$ .

Φιλικά Νίκος

Βλέπω η λύση μου είναι παρόμοια με του Κώστα , αλλά πολύ μου άρεσε η λύση της Μαργαρίτας

Σταθερό γινόμενο

Σταθερό γινόμενο

Re: Σταθερό γινόμενο

Re: Σταθερό γινόμενο

Re: Σταθερό γινόμενο

Μέλη σε σύνδεση