Επαγωγή

[Mulder]

Καλησπέρα,συνάντησα πρόσφατα μια άσκηση:

Δείξτε ότι κάθε φυσικός αριθμός μεγαλύτερος από το ,γράφεται στη μορφή ,όπου και είναι μη αρνητικοί ακέραιοι αριθμοί.

Για τη λύση πήρα περιπτώσεις
α)

οπότε

b)

Τότε για ,είναι

Αν για είναι

τότε για είναι

c)

Για

Αν για είναι τότε για είναι

d)

Για

Αν για είναι τότε για είναι

Σωστή δεν είναι η λύση αυτή;
Έχω κάτι αμφιβολίες γιατί αμέσως μετά την εκφώνηση της άσκησης,έχει Yπόδειξη: Δείξτε με επαγωγή ότι αν ισχύει για , τότε ισχύει και για ,και εφαρμόστε ισχυρή επαγωγή. (και δεν μπορώ να καταλάβω τι εννοεί)

[Mihalis_Lambrou]

Έχω κάτι αμφιβολίες γιατί αμέσως μετά την εκφώνηση της άσκησης,έχει Yπόδειξη: Δείξτε με επαγωγή ότι αν ισχύει για , τότε ισχύει και για ,και εφαρμόστε ισχυρή επαγωγή. (και δεν μπορώ να καταλάβω τι εννοεί)

Σωστή είναι η λύση.

Για την επαγωγή με πηδήματα (όπως από n = k στο n = k+4) και για ισχυρή επαγωγή δες σελίδες 10-12 στο:
http://math-her.gr/index.php/2010-01-2 ... 9-20-07-23

Καλο διάβασμα.

Μ.

[Mihalis_Lambrou]

Καλησπέρα,συνάντησα πρόσφατα μια άσκηση:

Δείξτε ότι κάθε φυσικός αριθμός μεγαλύτερος από το ,γράφεται στη μορφή ,όπου και είναι μη αρνητικοί ακέραιοι αριθμοί.

Να μία πρακτική λύση, χωρίς επαγωγή.

Γράφουμε τους αριθμούς σε τετράδες σε ένα πίνακα, τον έναν κάτω απο τον άλλο:

1 ---- 2 ---- 3 ---- 4
5 ---- 6 ---- 7 ---- 8
9 ----10 ----11----12
13 ----14 ----15 ---16
17 ----18 ----19 ---20
. . . . . . . . . .
. . . . . . . .

Κοκκινίζουμε τους αριθμούς που γράφονται στη μορφή 4m+5l. Στην αρχή
θα έχουμε π.χ. τον 4, τον 5, τον 8= 2.4 + 0, τον 9 = 4 + 5 και λοιπά.
Είναι σαφές ότι αν ένας αριθμός είναι κοκκινισμένος, τότε και ο αμέσως από κάτω του
θα κοκκινιστεί (αφού έχει ένα 4 παραπάνω).
Συνεπώς, από έναν κοκκινισμένο, έπεται ότι όλη η στήλη από κάτω του
κοκκινίζεται.
Από τον πίνακα βλέπουμε ότι όλοι αριθμοί από τον 12 και πέρα είναι κοκκινισμένοι, όπως θέλαμε.

Φιλικά,

Μιχάλης Λάμπρου

[Mulder]

χαχα,πολύ καλή η λύση σου και πράγματι καταπληκτικό το άρθρο του Λάμπρου.σ'ευχαριστώ

[kostas.zig]

Μπράβο Μιχάλη Λάμπρου !!! Ωραίο και το άρθρο που παρέθεσες του Μιχάλη Λάμπρου!! Και τι σύμπτωση

[Mulder]

ωχχ!! Δικό σου είναι το άρθρο δε το πρόσεξα!!