Ευθεία (εύκολη) από παλιό Ευκλείδη Β'

nickthegreek · #1

Θεωρούμε την ευθεία με εξίσωση:

$\varepsilon:5x-10y+3=0$

Να δείξετε ότι:

Δεν υπάρχει σημείο A(a_1,a_2)

με $a_1,a_2 \in Z$ που να απέχει από την ευθεία $\varepsilon$ απόσταση μικρότερη από

$\frac{\sqrt{3}}{20}$ .

Στη συνέχεια (δικιά μου ερώτηση) να βελτιώσετε όσο είναι δυνατόν την τιμή της σταθεράς $\frac{\sqrt{3}}{20}$ και να προσδιορίσετε την ευθεία πάνω στην οποία ανήκουν όλα τα σημεία με ακέραιες συντεταγμένες που απέχουν τη μικρότερη απόσταση από την ευθεία.

Φιλικά,
Νίκος

Mulder · #2

Είναι $d(A,\epsilon )=\frac{|5a_1-10a_2+3|}{5\sqrt{5}} \geq \frac{5|a_1|+10|a_2|+3}{5\sqrt{5}} \geq \frac{3}{5\sqrt{5}}$ ,

και πράγματι $\frac{3}{5\sqrt{5}} \geq \frac{\sqrt{3}}{20} \Leftrightarrow 12 \geq \sqrt{15}$ ,που ισχύει.

Τώρα για να αποδείξουμε ότι η ελάχιστη τιμή του |5a_1-10a_2+3|

είναι το

, αρκεί να δείξουμε ότι δεν υπάρχουν $(a_1,a_2)\in N^2$ , τέτοια ώστε $5a_1-10a_2=-2\Leftrightarrow 5(2a_2-a_1)=2$ ή $5a_1-10a_2=-3\Leftrightarrow 5(2a_2-a_1)=3$ ή $5a_1-10a_2=-4\Leftrightarrow 5(2a_2-a_1)=4$

Πράγματι,αφού οι a_1,a_2

είναι ακέραιοι,τότε και o u=2a_2-a_1

είναι ακέραιος,άρα $5(2a_2-a_1)=5u=\pi o \lambda 5 \neq 2,3,4$

Άρα $min[d(A,\epsilon)]=\frac{2}{5\sqrt{5}}$ και προκύπτει μόνο(αφού με ανάλογο συλλογισμό έχουμε και $5a_1-10a_2\neq -1)$ όταν $5a_1-10a_2=-5\Leftrightarrow 2a_2-a_1=1$ , επομένως αυτά τα (a_1,a_2)

ανήκουν στην ευθεία -x+2y-1=0

Ευθεία (εύκολη) από παλιό Ευκλείδη Β'

Ευθεία (εύκολη) από παλιό Ευκλείδη Β'

Re: Ευθεία (εύκολη) από παλιό Ευκλείδη Β'

Μέλη σε σύνδεση