Εύρεση γωνιών ρόμβου

ΧΡΗΣΤΟΣ ΚΑΡΔΑΣΗΣ · #1

Έστω τα μη μηδενικά διανύσματα $\displaystyle{\mathop \alpha \limits^ \to }$ , $\displaystyle{\mathop \beta \limits^ \to }$ με ( $\displaystyle{\mathop \alpha \limits^ \to }$ , $\displaystyle{\mathop \beta \limits^ \to }$ ) = 120 και ο ρόμβος ΑΒΓΔ με $\displaystyle{\mathop {{\rm A}\Gamma }\limits^ \to = 3\mathop \alpha \limits^ \to + 3\mathop \beta \limits^ \to }$ και $\displaystyle{\mathop {{\rm B}\Delta }\limits^ \to = \mathop \alpha \limits^ \to - \mathop \beta \limits^ \to }$ .
Να βρεθούν οι γωνίες του ρόμβου .

Χρήστος Λαζαρίδης · #2

Καλή άσκηση Χρήστο

$\displaystyle{0 = \overrightarrow {A\Gamma } \overrightarrow {B\Delta } = 3(\overrightarrow \alpha + \overrightarrow \beta )(\overrightarrow \alpha - \overrightarrow \beta ) = 3(\overrightarrow \alpha ^2 - \overrightarrow \beta ^2 ) \Rightarrow \left| {\overrightarrow \alpha } \right| = \left| {\overrightarrow \beta } \right|}$

$\displaystyle{\overrightarrow \alpha \overrightarrow \beta = \overrightarrow \alpha ^2 ( - \frac{1}{2})}$

$\displaystyle{\overrightarrow {A\Gamma } ^2 = 9(\overrightarrow \alpha + \overrightarrow \beta )^2 = 9(2\overrightarrow \alpha ^2 - \overrightarrow \alpha ^2 ) = 9\overrightarrow \alpha ^2 \Rightarrow \left| {\overrightarrow {A\Gamma } } \right| = 3\left| {\overrightarrow \alpha } \right|}$

$\displaystyle{\overrightarrow {{\rm B}\Delta } ^2 = (\overrightarrow \alpha - \overrightarrow \beta )^2 = 3\overrightarrow \alpha ^2 \Rightarrow \left| {\overrightarrow {{\rm B}\Delta } } \right| = \sqrt 3 \left| {\overrightarrow \alpha } \right|}$

Από Πυθαγόρειο, προκύπτει: $\displaystyle{ \overrightarrow {{\rm A}{\rm B}} ^2 = \overrightarrow {{\rm A}{\rm O}} ^2 + \overrightarrow {{\rm O}{\rm B}} ^2 = 3\overrightarrow \alpha ^2 \Rightarrow \left| {\overrightarrow {AB} } \right| = \overrightarrow \alpha \sqrt 3 }$
Το ΑΒΔ είναι ισόπλευρο, άρα Α = Γ = 60 και Β = Δ = 120

Φιλικά Χρήστος

ΧΡΗΣΤΟΣ ΚΑΡΔΑΣΗΣ · #3

Και πολύ ωραία η λύση σου Χρήστο

#4

Δεν προλαβα αλλα αφου την εγραψα
Έστω τα μη μηδενικά διανύσματα
$\overrightarrow{\alpha }$ , $\overrightarrow{\beta }$ με $\overset{\wedge }{\mathop{\left( \overrightarrow{\alpha },\overrightarrow{\beta } \right)}}\,={{120}^{o}}$ , και ο ρόμβος ΑΒΓΔ με $\overrightarrow{\Alpha \Gamma }=3\overrightarrow{\alpha }+3\overrightarrow{\beta }$ και $\overrightarrow{\Beta \Delta }=\overrightarrow{\alpha }-\overrightarrow{\beta }$ .
Να βρεθούν οι γωνίες του ρόμβου .
ΛΥΣΗ
$\overrightarrow{\Alpha \Gamma }\bot \overrightarrow{\Beta \Delta }\Rightarrow \overrightarrow{\Alpha \Gamma }\overrightarrow{\Beta \Delta }=0\Leftrightarrow \left( \overrightarrow{\alpha }-\overrightarrow{\beta } \right)\left( 3\overrightarrow{\alpha }+3\overrightarrow{\beta } \right)=0\Leftrightarrow \left| \overrightarrow{\alpha } \right|=\left| \overrightarrow{\beta } \right|=\kappa$
$\overrightarrow{\alpha }\overrightarrow{\beta }=\left| \overrightarrow{\alpha } \right|\left| \overrightarrow{\beta } \right|\sigma \upsilon \nu {{120}^{o}}=-\frac{1}{2}\left| \overrightarrow{\alpha } \right|\left| \overrightarrow{\beta } \right|=-\frac{{{\kappa }^{2}}}{2}$
${{\overrightarrow{\Alpha \Gamma }}^{2}}=9\left( {{\left| \overrightarrow{\alpha } \right|}^{2}}+{{\left| \overrightarrow{\beta } \right|}^{2}}+2\overrightarrow{\alpha }\overrightarrow{\beta } \right)=9\left( {{\kappa }^{2}}+{{\kappa }^{2}}-{{\kappa }^{2}} \right)=9{{\kappa }^{2}}$ \displaystyle{\Rightarrow \left| \overrightarrow{\Alpha \Gamma } \right|=3\kappa

{{\overrightarrow{\Beta \Delta }}^{2}}=\left( {{\left| \overrightarrow{\alpha } \right|}^{2}}+{{\left| \overrightarrow{\beta } \right|}^{2}}-2\overrightarrow{\alpha }\overrightarrow{\beta } \right)=\left( {{\kappa }^{2}}+{{\kappa }^{2}}+{{\kappa }^{2}} \right)=3{{\kappa }^{2}}} $\Rightarrow \left| \overrightarrow{\Beta \Delta } \right|=\kappa \sqrt{3}$

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

#5

Και μια άλλη....
Είναι:
$\vec{A\Gamma }=3\vec{AM}+3\vec{AN}$
και:
$\vec{NM}=\vec{AM}-\vec{AN}=\vec{\Delta B}$
Μετακινούμε το διάνυσμα παράλληλα προς τον εαυτό του και κατά τη διεύθυνση
του διανύσματος ΑΓ έως το σημείο Ο που είναι το μέσο του διανύσματος ΑΓ.

Για να είναι το τετράπλευρο ΑΒΓΔ ρόμβος θα πρέπει τα αρχικά διανύσματα να έχουν τό ίδιο μέτρο
διότι τότε μόνον η ΑΓ κάθετη στην ΜΝ
(σκεφτόμαστε ότι μόνο στο ισοσκελές τρίγωνο συμβαίνει η διάμεσος να είναι και ύψος)

Από την ομοιότητα των τριγώνων ΑΜΝ και ΑΜ'Ν' προκύπτει ότι:
$M'B=B\Delta =\Delta N' =MN$
Αν ονομάσουμε με k το μήκος του ΜΝ τότε:
$A\Delta ^2=AO^2+O\Delta ^2=((AN')^2-(ON')^2)+\frac{k^2}{4}$
κι ακόμα:
$A\Delta ^2=(\frac{ON'}{cos30^{0}})^2-\left(k+\frac{k}{2} \right)^2+\frac{k^2}{4}=...=k^2$
Δηλαδή:
$A\Delta =k$
Όμοια δείχνεται ότι και
AB =k

Επομένως το τρίγωνο ΑΒΔ είναι ισόπλευρο.
Άρα οι γωνίες του ρόμβου είναι 60 μοίρες η μια και 120 μοίρες η άλλη.

ΧΡΗΣΤΟΣ ΚΑΡΔΑΣΗΣ · #6

Σας ευχαριστώ όλους για τις λύσεις σας

Εύρεση γωνιών ρόμβου

Εύρεση γωνιών ρόμβου

Re: Εύρεση γωνιών ρόμβου

Re: Εύρεση γωνιών ρόμβου

Re: Εύρεση γωνιών ρόμβου

Re: Εύρεση γωνιών ρόμβου

Re: Εύρεση γωνιών ρόμβου

Μέλη σε σύνδεση