Διανύσματα 1

#1

Δίνονται τα $\displaystyle{\vec{\alpha },\vec{\beta }}$ με $\displaystyle{\left| {\vec{\alpha }} \right|=\left| {\vec{\beta }} \right|=1}$ . Δείξτε ότι η εξίσωση $\displaystyle{{{x}^{2}}-2\left| \vec{\alpha }-\vec{\beta } \right|x+{{\left( 1-\vec{\alpha }\vec{\beta } \right)}^{2}}=0}$ έχει πραγματικές λύσεις.

ΧΡΗΣΤΟΣ ΚΑΡΔΑΣΗΣ · #2

$\displaystyle{D = 4\left( {{{\mathop \alpha \limits^ \to }^{\,2}} + {{\mathop \beta \limits^ \to }^{\,2}} - 2\mathop \alpha \limits^ \to \mathop \beta \limits^ \to } \right) - 4\left( {1 - 2\mathop \alpha \limits^ \to \mathop \beta \limits^ \to + {{\left( {\mathop \alpha \limits^ \to \mathop \beta \limits^ \to } \right)}^2}} \right) = 4\left( {1 + 1 - 2\mathop \alpha \limits^ \to \mathop \beta \limits^ \to - 1 + 2\mathop \alpha \limits^ \to \mathop \beta \limits^ \to - {{\left( {\mathop \alpha \limits^ \to \mathop \beta \limits^ \to } \right)}^2}} \right) = 4\left( {1 - {{\left( {\mathop \alpha \limits^ \to \mathop \beta \limits^ \to } \right)}^2}} \right) \ge 0}$ διότι $\displaystyle{\mathop \alpha \limits^ \to \mathop \beta \limits^ \to \le \left| {\mathop \alpha \limits^ \to } \right|\left| {\mathop \beta \limits^ \to } \right| \Rightarrow \mathop \alpha \limits^ \to \mathop \beta \limits^ \to \le 1}$

#3

ΧΡΗΣΤΟΣ ΚΑΡΔΑΣΗΣ έγραψε: $\displaystyle{D = 4\left( {{{\mathop \alpha \limits^ \to }^{\,2}} + {{\mathop \beta \limits^ \to }^{\,2}} - 2\mathop \alpha \limits^ \to \mathop \beta \limits^ \to } \right) - 4\left( {1 - 2\mathop \alpha \limits^ \to \mathop \beta \limits^ \to + {{\left( {\mathop \alpha \limits^ \to \mathop \beta \limits^ \to } \right)}^2}} \right) = 4\left( {1 + 1 - 2\mathop \alpha \limits^ \to \mathop \beta \limits^ \to - 1 + 2\mathop \alpha \limits^ \to \mathop \beta \limits^ \to - {{\left( {\mathop \alpha \limits^ \to \mathop \beta \limits^ \to } \right)}^2}} \right) = 4\left( {1 - {{\left( {\mathop \alpha \limits^ \to \mathop \beta \limits^ \to } \right)}^2}} \right) \ge 0}$ διότι $\displaystyle{\mathop \alpha \limits^ \to \mathop \beta \limits^ \to \le \left| {\mathop \alpha \limits^ \to } \right|\left| {\mathop \beta \limits^ \to } \right| \Rightarrow \mathop \alpha \limits^ \to \mathop \beta \limits^ \to \le 1}$

Αυτο ειναι !!!

ΧΡΗΣΤΟΣ ΚΑΡΔΑΣΗΣ · #4

Κώστα μόλις διαπίστωσα ότι την έχω με 2 ακόμη ερωτήματα τα οποία είναι :

2) αν ρ1 , ρ2 είναι οι ρίζες της εξίσωσης , τότε να δείξετε ότι $\displaystyle{{\rho _1}^2 + {\rho _2}^2 \le 8}$
3) αν ισχύει $\displaystyle{{\rho _1}^2 + {\rho _2}^2 = 8}$ , να δείξετε ότι $\displaystyle{\mathop \alpha \limits^ \to = - \mathop \beta \limits^ \to }$

#5

Δίνονται τα $\displaystyle{\vec{\alpha },\vec{\beta }}$ με $\displaystyle{\left| {\vec{\alpha }} \right|=\left| {\vec{\beta }} \right|=1}$ .
1… Δείξτε ότι η εξίσωση $\displaystyle{{{x}^{2}}-2\left| \vec{\alpha }-\vec{\beta } \right|x+{{\left( 1-\vec{\alpha }\vec{\beta } \right)}^{2}}=0}$ έχει πραγματικές λύσεις.
2… Αν ρ1 , ρ2 είναι οι ρίζες της εξίσωσης , τότε να δείξετε ότι $\displaystyle{{\rho _1}^2 + {\rho _2}^2 \le 8}$ ( Χ.Κ)
3…. Αν ισχύει $\displaystyle{{\rho _1}^2 + {\rho _2}^2 = 8}$ , να δείξετε ότι $\overrightarrow{\alpha }=-\overrightarrow{\beta }$ (Χ.Κ)
ΛΥΣΗ
1… ΛΥΣΗ 1 ΧΡΗΣΤΟΣ ΚΑΡΔΑΣΗΣ
$\displaystyle{D = 4\left( {{{\mathop \alpha \limits^ \to }^{\,2}} + {{\mathop \beta \limits^ \to }^{\,2}} - 2\mathop \alpha \limits^ \to \mathop \beta \limits^ \to } \right) - 4\left( {1 - 2\mathop \alpha \limits^ \to \mathop \beta \limits^ \to + {{\left( {\mathop \alpha \limits^ \to \mathop \beta \limits^ \to } \right)}^2}} \right) = 4\left( {1 + 1 - 2\mathop \alpha \limits^ \to \mathop \beta \limits^ \to - 1 + 2\mathop \alpha \limits^ \to \mathop \beta \limits^ \to - {{\left( {\mathop \alpha \limits^ \to \mathop \beta \limits^ \to } \right)}^2}} \right) = 4\left( {1 - {{\left( {\mathop \alpha \limits^ \to \mathop \beta \limits^ \to } \right)}^2}} \right) \ge 0}$ διότι $\displaystyle{\mathop \alpha \limits^ \to \mathop \beta \limits^ \to \le \left| {\mathop \alpha \limits^ \to } \right|\left| {\mathop \beta \limits^ \to } \right| \Rightarrow \mathop \alpha \limits^ \to \mathop \beta \limits^ \to \le 1}$
.......ΛΥΣΗ 2 ΤΗΛΕΓΡΑΦΟΣ ΚΩΣΤΑΣ
Αν τότε $\vec{\alpha }\vec{\beta }=1\cdot 1\sigma \upsilon \nu \theta =\sigma \upsilon \nu \theta$ και η εξίσωση γίνεται ${{x}^{2}}-2\left| \vec{\alpha }-\vec{\beta } \right|x+{{\left( 1-\sigma \upsilon \nu \theta \right)}^{2}}=0$ . Η διακρίνουσα είναι $\Delta = {{\left( -2\left| \vec{\alpha }-\vec{\beta } \right| \right)}^{2}}-41{{\left( 1-\sigma \upsilon \nu \theta \right)}^{2}}= 4{{\left( \vec{\alpha }-\vec{\beta } \right)}^{2}}-4{{\left( 1-\sigma \upsilon \nu \theta \right)}^{2}}=$
$=4\left( {{{\vec{\alpha }}}^{2}}-2\vec{\alpha }\vec{\beta }+{{{\vec{\beta }}}^{2}} \right)-4\left( 1-2\sigma \upsilon \nu \theta +\sigma \upsilon {{\nu }^{2}}\theta \right)=4{{\vec{\alpha }}^{2}}-8\vec{\alpha }\vec{\beta }+4{{\vec{\beta }}^{2}}-4+8\sigma \upsilon \nu \theta -4\sigma \upsilon {{\nu }^{2}}\theta =$
$=4\cdot {{1}^{2}}-8\sigma \upsilon \nu \theta +4\cdot {{1}^{2}}-4+8\sigma \upsilon \nu \theta -4\sigma \upsilon {{\nu }^{2}}\theta =4-4\sigma \upsilon {{\nu }^{2}}\theta =4\left( 1-\sigma \upsilon {{\nu }^{2}}\theta \right)\ge 0$
(γιατί $0\le \left| \sigma \upsilon \nu \theta \right|\le 1\Leftrightarrow 0\le \sigma \upsilon {{\nu }^{2}}\theta \le 1\Leftrightarrow 1-\sigma \upsilon {{\nu }^{2}}\theta \ge 0$ ).
2.....

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

3......

#6

Τηλέγραφος Κώστας έγραψε: 2… Αν ρ1 , ρ2 είναι οι ρίζες της εξίσωσης , τότε να δείξετε ότι $\displaystyle{{\rho _1}^2 + {\rho _2}^2 \le 8}$ ( Χ.Κ)
3…. Αν ισχύει $\displaystyle{{\rho _1}^2 + {\rho _2}^2 = 8}$ , να δείξετε ότι $\overrightarrow{\alpha }=-\overrightarrow{\beta }$ (Χ.Κ)

$\displaystyle{\rho_1^2 +\rho_2^2 = (\rho_1 + \rho_2 )^2 - 2\rho_1 \rho_2 = 4(\overrightarrow{\alpha }-\overrightarrow{\beta } )^2- 2(1-\overrightarrow{\alpha }\cdot \overrightarrow{\beta })^2=...= 8-2(1+\overrightarrow{\alpha }\cdot \overrightarrow{\beta })^2 \le 8}$

με ισότητα αν και μόνον αν $\overrightarrow{\alpha }\cdot \overrightarrow{\beta }= -1$ .

Σε αυτή την περίπτωση $|\overrightarrow{\alpha }|| \overrightarrow{\beta }|= 1= -\overrightarrow{\alpha }\cdot \overrightarrow{\beta } =|\overrightarrow{\alpha }|| \overrightarrow{\beta }|\cos 180$ ,

δηλαδή τα $\overrightarrow{\alpha },\, \overrightarrow{\beta }$ είναι ίσα και αντίρροπα, όπως θέλαμε.

Φιλικά,

Μιχάλης Λάμπρου

#7

Δίνονται τα $\displaystyle{\vec{\alpha },\vec{\beta }}$ με $\displaystyle{\left| {\vec{\alpha }} \right|=\left| {\vec{\beta }} \right|=1}$ .
1… Δείξτε ότι η εξίσωση $\displaystyle{{{x}^{2}}-2\left| \vec{\alpha }-\vec{\beta } \right|x+{{\left( 1-\vec{\alpha }\vec{\beta } \right)}^{2}}=0}$ έχει πραγματικές λύσεις.
2… Αν ρ1 , ρ2 είναι οι ρίζες της εξίσωσης , τότε να δείξετε ότι $\displaystyle{{\rho _1}^2 + {\rho _2}^2 \le 8}$ ( Χ.Κ)
3…. Αν ισχύει $\displaystyle{{\rho _1}^2 + {\rho _2}^2 = 8}$ , να δείξετε ότι $\overrightarrow{\alpha }=-\overrightarrow{\beta }$ (Χ.Κ)
ΛΥΣΗ
1… ΛΥΣΗ 1 ΧΡΗΣΤΟΣ ΚΑΡΔΑΣΗΣ
$\displaystyle{D = 4\left( {{{\mathop \alpha \limits^ \to }^{\,2}} + {{\mathop \beta \limits^ \to }^{\,2}} - 2\mathop \alpha \limits^ \to \mathop \beta \limits^ \to } \right) - 4\left( {1 - 2\mathop \alpha \limits^ \to \mathop \beta \limits^ \to + {{\left( {\mathop \alpha \limits^ \to \mathop \beta \limits^ \to } \right)}^2}} \right) = 4\left( {1 + 1 - 2\mathop \alpha \limits^ \to \mathop \beta \limits^ \to - 1 + 2\mathop \alpha \limits^ \to \mathop \beta \limits^ \to - {{\left( {\mathop \alpha \limits^ \to \mathop \beta \limits^ \to } \right)}^2}} \right) = 4\left( {1 - {{\left( {\mathop \alpha \limits^ \to \mathop \beta \limits^ \to } \right)}^2}} \right) \ge 0}$ διότι $\displaystyle{\mathop \alpha \limits^ \to \mathop \beta \limits^ \to \le \left| {\mathop \alpha \limits^ \to } \right|\left| {\mathop \beta \limits^ \to } \right| \Rightarrow \mathop \alpha \limits^ \to \mathop \beta \limits^ \to \le 1}$
.......ΛΥΣΗ 2 ΤΗΛΕΓΡΑΦΟΣ ΚΩΣΤΑΣ
Αν τότε $\vec{\alpha }\vec{\beta }=1\cdot 1\sigma \upsilon \nu \theta =\sigma \upsilon \nu \theta$ και η εξίσωση γίνεται ${{x}^{2}}-2\left| \vec{\alpha }-\vec{\beta } \right|x+{{\left( 1-\sigma \upsilon \nu \theta \right)}^{2}}=0$ . Η διακρίνουσα είναι $\Delta = {{\left( -2\left| \vec{\alpha }-\vec{\beta } \right| \right)}^{2}}-41{{\left( 1-\sigma \upsilon \nu \theta \right)}^{2}}= 4{{\left( \vec{\alpha }-\vec{\beta } \right)}^{2}}-4{{\left( 1-\sigma \upsilon \nu \theta \right)}^{2}}=$
$=4\left( {{{\vec{\alpha }}}^{2}}-2\vec{\alpha }\vec{\beta }+{{{\vec{\beta }}}^{2}} \right)-4\left( 1-2\sigma \upsilon \nu \theta +\sigma \upsilon {{\nu }^{2}}\theta \right)=4{{\vec{\alpha }}^{2}}-8\vec{\alpha }\vec{\beta }+4{{\vec{\beta }}^{2}}-4+8\sigma \upsilon \nu \theta -4\sigma \upsilon {{\nu }^{2}}\theta =$
$=4\cdot {{1}^{2}}-8\sigma \upsilon \nu \theta +4\cdot {{1}^{2}}-4+8\sigma \upsilon \nu \theta -4\sigma \upsilon {{\nu }^{2}}\theta =4-4\sigma \upsilon {{\nu }^{2}}\theta =4\left( 1-\sigma \upsilon {{\nu }^{2}}\theta \right)\ge 0$
(γιατί $0\le \left| \sigma \upsilon \nu \theta \right|\le 1\Leftrightarrow 0\le \sigma \upsilon {{\nu }^{2}}\theta \le 1\Leftrightarrow 1-\sigma \upsilon {{\nu }^{2}}\theta \ge 0$ ).

2.....Μιχάλης Λάμπρου
$\displaystyle{\rho_1^2 +\rho_2^2 = (\rho_1 + \rho_2 )^2 - 2\rho_1 \rho_2 = 4(\overrightarrow{\alpha }-\overrightarrow{\beta } )^2- 2(1-\overrightarrow{\alpha }\cdot \overrightarrow{\beta })^2=...= 8-2(1+\overrightarrow{\alpha }\cdot \overrightarrow{\beta })^2 \le 8}$

3......Μιχάλης Λάμπρου
Με ισότητα αν και μόνον αν $\overrightarrow{\alpha }\cdot \overrightarrow{\beta }= -1$ .

Σε αυτή την περίπτωση $|\overrightarrow{\alpha }|| \overrightarrow{\beta }|= 1= -\overrightarrow{\alpha }\cdot \overrightarrow{\beta } =|\overrightarrow{\alpha }|| \overrightarrow{\beta }|\cos 180$ ,

δηλαδή τα $\overrightarrow{\alpha },\, \overrightarrow{\beta }$ είναι ίσα και αντίρροπα, όπως θέλαμε.

Διανύσματα 1

Διανύσματα 1

Re: Διανύσματα 1

Re: Διανύσματα 1

Re: Διανύσματα 1

Re: Διανύσματα 1

Re: Διανύσματα 1

Re: Διανύσματα 1

Μέλη σε σύνδεση