Εύρεση γεωμετρικού τόπου 2

erxmer · #1

Σημείο Α κινείται στην περιφέρεια x^2+y^2=a^2

και Β, Γ είναι οι προβολές στις ασύμπτωτές της υπερβολής x^2/a^2-y^2/b^2=1

. Να βρεθεί ο γ.τ του μέσου Μ του ΒΓ.

#2

Αν

οι συντεταγμένες του σημείου Α τότε:
x_0^2+y_0^2=a^2(1)

οι συντεταγμένες του σημείου Β θα προκύψουν από το σύστημα:
$\left.\begin{matrix} y=-\frac{b}{a}x\\y-y_0=\frac{a}{b}(x-x_0) \end{matrix}\right|(2)$
Άρα:
$\left.\begin{matrix} x_B=\frac{\left(ax_0-by_0 \right)a}{a^2+b^2}\\y_B=\frac{\left(-ax_0+by_0 \right)b}{a^2+b^2} \end{matrix}\right| (3)$
Όμοια οι συντεταγμένες του σημείου C προκύπτουν από το σύστημα:
$\left.\begin{matrix} y=\frac{b}{a}x\\ y-y_0=-\frac{a}{b}(x-x_0) \end{matrix}\right|(4)$
και είναι:
$\left.\begin{matrix} x_C=\frac{\left(ax_0+by_0 \right)a}{a^2+b^2}\\ y_C=\frac{\left(ax_0+by_0 \right)b}{a^2+b^2} \end{matrix}\right|(5)$
Επομένως οι συντεταγμένες του μέσου D είναι:
$\left.\begin{matrix} x_M=\frac{a^2}{a^2+b^2}x_0\\ y_M=\frac{b^2}{a^2+b^2}y_0 \end{matrix}\right|$
άρα:
$\left.\begin{matrix} x_0=\left(\frac{a^2+b^2}{a^2} \right)x_M\\ y_0=\left(\frac{a^2+b^2}{b^2} \right)y_M \end{matrix}\right|$
και λόγω της (1) θα είναι τέλος:
$\frac{x_M^2}{\left(\frac{a^3}{a^2+b^2} \right)^2}+\frac{y_M^2}{\left(\frac{ab^2}{a^2+b^2} \right)^2}=1$
που αποτελεί έλλειψη με στοιχεία που προσδιορίζονται εύκολα.

Στο συνημμένο σχήμα μπορεί να δεί κανείς και την κίνηση.

#3

Στην ίδια άσκηση προκύτπει ακόμα και το ερώτημα:
"Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος του συμμετρικού σημείου του
μεταβλητού σημείου Α του κύκλου ως προς το μέσο D του
τμήματος BC".

parmenides51 · #4

KDORTSI έγραψε:Στην ίδια άσκηση προκύπτει ακόμα και το ερώτημα:
"Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος του συμμετρικού σημείου του μεταβλητού σημείου Α του κύκλου ως προς το μέσο D του τμήματος BC".

επαναφορά

parmenides51 · #5

KDORTSI έγραψε:Στην ίδια άσκηση προκύπτει ακόμα και το ερώτημα:
"Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος του συμμετρικού σημείου του μεταβλητού σημείου Α του κύκλου ως προς το μέσο D του τμήματος BC".

Λοιπόν που λέτε μόλις είδα το ερώτημα του Κώστα σκέφτηκα, ότι θα είναι πολύ δύσκολο.
Και καλά σκέφτηκα ότι θα έχει εκείνα τα λίγα θεωρήματα της Γεωμετρίας,
τα περίεργα, που ξέρουν, χρησιμοποιούν και καταλαβαίνουν λίγοι εδώ μέσα,
αν και ο αριθμός αυτόν αυξάνει ανησυχητικά μέρα με την μέρα στο

.

Μερικούς μήνες μετά, σήμερα δηλαδή επανήλθα και σκέφτηκα να το ξαναδοκιμάσω.
Αρχικά κατεβάζω το συνημμένο αρχείο για να δω την σχετική κίνηση κι εγώ.
Ανοίγω λοιπόν το geogebra, μολονότι άσχετος με τέτοια λογισμικά, και πειραματίζομαι.
Βρίσκω με διανύσματα σχηματικά ότι ο ζητούμενος γεωμετρικός τόπος μοιάζει με κύκλο,
άρα σκέφτομαι πως ενδεχομένως να μπορώ να το λύσω.
Ιδού το αποτέλεσμα.

: geo4.JPG (30.27 KiB) Προβλήθηκε 892 φορές

Θα γράψω με την πρώτη ευκαιρία την λύση.

Στο συνημμένο σχήμα μπορεί να δεί κανείς και την κίνηση.

parmenides51 · #6

Βρήκα χρόνο οπότε ....

KDORTSI έγραψε:Στην ίδια άσκηση προκύπτει ακόμα και το ερώτημα:
"Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος του συμμετρικού σημείου του μεταβλητού σημείου Α του κύκλου ως προς το μέσο D του τμήματος BC".

Έστω

το συμμετρικό σημείο του A(x_o,y_o)

ως προς το σημείο D(x_1,y_1)

.

Ισχύουν πως
$\displaystyle{x_0^2+y_0^2=a^2}$ (1)

$\displaystyle{x_0=\left(\frac{a^2+b^2}{a^2} \right)x_1}$ (2)

$\displaystyle{y_0=\left(\frac{a^2+b^2}{b^2} \right)y_1}$ (3)

$\displaystyle{\overrightarrow{AA'}=2\overrightarrow{AD} \Leftrightarrow (x_2-x_o,y_2-y_o)=2(x_1-x_o,y_1-y_o)\Leftrightarrow (x_2-x_o,y_2-y_o)=(2x_1-2x_o,2y_1-2y_o)}$

$\displaystyle{\Leftrightarrow (x_2,y_2)=(2x_1-x_o,2y_1-y_o) \Leftrightarrow \left\{{\begin{matrix} x_2=2x_1-x_o\\ y_2=2y_1-y_o \end{matrix} \mathtop \limits{_{\Leftrightarrow}^{(2),(3)}} \left\{{\begin{matrix} x_2=\frac{2a^2}{a^2+b^2}x_o-x_o=\frac{2a^2-a^2-b^2}{a^2+b^2}x_o=\frac{a^2-b^2}{a^2+b^2}x_o\\ y_2=\frac{2b^2}{a^2+b^2}y_o-y_o=\frac{2b^2-a^2-b^2}{a^2+b^2}y_o=\frac{b^2-a^2}{a^2+b^2}y_o \end{matrix}}$

$\displaystyle{\Leftrightarrow \left\{{\begin{matrix} x_o=\frac{a^2+b^2}{a^2-b^2}x_2 \,(4) \\ y_o=\frac{a^2+b^2}{b^2-a^2}y_2 \, (5) \end{matrix}}}$

$\displaystyle{x_0^2+y_0^2=a^2 (1) \mathtop \limits{_{\Rightarrow}^{(4),(5)}}\left(\frac{a^2+b^2}{a^2-b^2}x_2\right)^2+\left(\frac{a^2+b^2}{b^2-a^2}y_2\right)^2=a^2$

$\displaystyle{\Leftrightarrow x_2^2+y_2^2=a^2\left(\frac{b^2-a^2}{a^2+b^2}\right)^2}$
που παριστάνει κύκλο με κέντρο (0,0)

και ακτίνα $\displaystyle{\frac{|a(b^2-a^2)|}{a^2+b^2}}$ .

edit: Διόρθωσα κάποια λάθη στις πράξεις.

#7

Φίλε μου parmenides51,
η επαναφορά στην εξέταση του γεωμετρικού αυτού τόπου καθώς και στο σχόλιό
σου για τη δυνατότητα που μας προσφέρει σήμερα η νέα τεχνολογία των λογισμικών
με χαροποιεί και με ωθεί να πω δυο λόγια:

Έχει περάσει μια δεκαετία από το 2001 όταν το πρόγραμμα "Οδύσσεια" πρωτοέστειλε σε μερικά σχολεία σε πιλοτική μορφή τα πρώτα
λογισμικά κι ακόμα έχω την άποψη, ότι δεν έχουν αξιοποιηθεί τόσο, όσο ίσως θα έπρεπε μέσα στη σχολική τάξη. Πιστεύω βέβαια πως σημαντικός
αριθμός συναδέλφων έχουν μυηθεί σ' αυτά κυρίως με προσωπική προσπάθεια(αυτοεπιμόρφωση), αλλά και άλλοι με τις λεγόμενες επιμορφώσεις
πρώτου και δευτέρου επιπέδου που πραγματοποιεί το Υπουργείο.

Προσωπικά, πιστεύω πως είναι μεγάλη υπόθεση το να χρησιμοποιεί κανείς τα μέσα αυτά. Του λύνονται τα χέρια, που λέει ο λαός. Συγκεκριμένα αυτό που
έννιωσες φίλε μου parmenides, και το δήλωσες άλλωστε, είναι η μεγάλη ευκολία βρίσκει κανείς τους γεωμετρικούς τόπους. Μεγάλη προσφορά η εποπτεία
αυτή που μας παρέχουν. Οι κατασκευές, οι μετασχηματισμοί(περιστροφή, συμμετρίες, ομοιθεσία, αντιστροφή, μεταφορά) και πολλά άλλα. Άσε που
το καθένα λογισμικό έχει και τη δικιά του φυσιογνωμία που σε κάποια στιγμή κι ανάλογα με το πρόβλημα που έχει κανείς κάθε φορά επιλέγει και
το κατάλληλο.

Και κάτι άλλο, κανένα λογισμικό δεν υποκαθιστά και δεν αναλαμβάνει να κάνει αυτό που εμείς ως μαθηματικοί έχουμε υποχρέωση να κάνουμε.
Δηλαδή να μας "λύσουν" το πρόβλημα που αντιμετωπίζουμε κάθε φορά. Όμως είναι πολύ καλοί βοηθοί μας, μας δίνουν εύκολα το χάρακα και το διαβήτη
καθώς και μια υπολογιστική μηχανή και μας αφήνουν στη δουλειά μας.

Καλή αρχή σ' εκείνους που αποφάσισαν τώρα να τα βάλουν στη δουλειά τους. Θα ενθουσιαστούν, αλλά κυρίως θα ωφεληθούν οι μαθητές τους.

Κώστας Δόρτσιος

Εύρεση γεωμετρικού τόπου 2

Εύρεση γεωμετρικού τόπου 2

Re: Εύρεση γεωμετρικού τόπου 2

Re: Εύρεση γεωμετρικού τόπου 2

Re: Εύρεση γεωμετρικού τόπου 2

Re: Εύρεση γεωμετρικού τόπου 2

Re: Εύρεση γεωμετρικού τόπου 2

Re: Εύρεση γεωμετρικού τόπου 2

Μέλη σε σύνδεση