Εντός ύλης

KARKAR · #1

Δίνεται ορθογώνιο $AB\Gamma \Delta$ , μήκους

και πλάτους $\beta$ , και έστω $\lambda =\displaystyle\frac{a}{\beta }$

Αν

το μέσο της $\Gamma \Delta$ ,

το μέσο της $A \Delta$ και οι

τέμνονται στο $\Sigma$ :

α) Βρείτε το $\gamma .\tau .$ του $\Sigma$ , αν $\beta$ σταθερό.

β) Βρείτε το $\lambda$ , ώστε το τρίγωνο $AB\Sigma$ να είναι ορθογώνιο.

γ) Υπάρχει τιμή του $\lambda$ , ώστε το τρίγωνο $AB\Sigma$ να είναι ισόπλευρο ;

δ) Βρείτε το $\lambda$ , ώστε το τρίγωνο $AB\Sigma$ να είναι ισοσκελές.

#2

Έστω $A(0,0),\ B(a,0),\ \Gamma(a,\beta),\ \Delta(0,\beta)$ , με $a\geq\beta>0$

οπότε $\displaystyle{M \left (\frac{a}{2},\beta \right), N \left (0, \frac{\beta}{2} \right) }$ .

Τότε:

* η εξίσωση της ΑΜ είναι: $\displaystyle{y-0=\frac{\beta-0}{\frac{a}{2}-0}(x-0) \Leftrightarrow y=\frac{2\beta}{a}x} (I)$
και
* η εξίσωση της ΒΝ είναι: $\displaystyle{y-0=\frac{\frac{\beta}{2}-0}{0-a}(x-a) \Leftrightarrow y=-\frac{2a}{\beta}(x-a)}(II)$ .

Λύνοντας το σύστημα των (Ι) και (ΙΙ) βρίσκουμε ότι $\displaystyle{\Sigma \left(\frac{a}{5},\frac{2\beta}{5} \right)}$ .

α) Αφού το β είναι σταθερό, ο γ.τ. του Σ δίνεται από την εξίσωση $\displaystyle{y=\frac{2\beta}{5}, \beta>0}$ ,
δηλαδή είναι "ημιευθεία" παράλληλη στον x'x που διέρχεται από το σημείο $\displaystyle{\Omega \left(0,\frac{2\beta}{5} \right)}$ και βρίσκεται στο 1ο τεταρτημόριο, χωρίς την αρχή της $\Omega$ .
Στο συνημμένο σχήμα είναι η "ημιευθεία" $\Omega z$ χωρίς το $\Omega$ (κόκκικο χρώμα).

Πάω για μπαλίτσα

. Συνεχίζω μετά ..

#3

Αφού τελείωσε η άθληση και τα παρελκόμενά της

, ας τελειώσω την άσκηση.

β) To τρίγωνο ΣΑΒ είναι ορθογώνιο αν και μόνο αν είναι κάθετες οι πλευρές του οι ΑΣ,ΒΣ.

Τότε:

$\displaystyle{\vec{A\Sigma} \cdot \vec{B\Sigma}=0 \Leftrightarrow \left (\frac{a}{5},\frac{2\beta}{5} \right) \cdot \left(-\frac{4a}{5},\frac{2\beta}{5} \right )=0 \Leftrightarrow}$

$\displaystyle{-\frac{4a^2}{25}+\frac{4\beta^2}{25}=0 \Leftrightarrow a=\beta}$ ,

οπότε $\displaystyle{\lambda=1}$ .

γ) Έχουμε ότι:

AB=a

,
$\displaystyle{A\Sigma=\frac{\sqrt{a^2+4\beta^2}}{5}}$ και
$\displaystyle{B\Sigma=\frac{\sqrt{16a^2+4\beta^2}}{5}}$ .

Το τρίγωνο ΑΒΣ είναι ισόπλευρο αν και μόνο αν: $AB=A\Sigma=B\Sigma$ .

* $A\Sigma=B\Sigma \Leftrightarrow a^2+4\beta^2=16a^2+4\beta^2 \Leftrightarrow a=0$ , περίπτωση που απορρίπτεται, οπότε δεν υπάρχει τιμή του λ ώστε το τρίγωνο ΑΒΣ να είναι ισόπλευρο.

δ) Από το (γ) ερώτημα προκύπτει ότι δεν γίνεται να έχουμε ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΣ με ΑΣ=ΒΣ.

* Αν $\displaystyle{A\Sigma = AB \Leftrightarrow a^2+4\beta^2=25a^2 \Leftrightarrow \frac{a}{\beta}=\frac{\sqrt{6}}{6}}$ ,
συνεπώς $\displaystyle{\lambda=\frac{\sqrt{6}}{6}}$ .

* Αν $\displaystyle{B\Sigma = AB \Leftrightarrow 16a^2+4\beta^2=25a^2 \Leftrightarrow \frac{a}{\beta}=\frac{2}{3}}$ ,
συνεπώς $\displaystyle{\lambda=\frac{2}{3}}$ .

KARKAR · #4

Κάθε πρόβλημα έχει τουλάχιστον μία κομψή λύση !

Παράπονο : Αν αγοράσεις οικόπεδο 600 τ. μ . , θα ζητούσες να έχει μήκος 20 μ και πλάτος 30 μ ;

Εντός ύλης

Εντός ύλης

Re: Εντός ύλης

Re: Εντός ύλης

Re: Εντός ύλης

Μέλη σε σύνδεση