Γεωμετρικός τόπος

GiannisL · #1

Μιά άσκηση απο το παλιό Mathematica (153 ασκηση απο μια σειρά ασκήεων του mlp για την Β κατευθυνσης) στην οποία έχω κωλυσει

"Από τυχαίο σημείο Μ του επιπέδου Οχy φέρνουμε τη ΜΑ καθετη y'y και τη ΜΒ κάθετη στην ευθεία y=x.
Αν (ΑΒ)=4 να βρείτε το γεωμετρικό τόπο του σημείου Μ"

Κάθε βοήθεια δεκτή

Ιστοσελίδα · #2

Kαλησπέρα
Μια υπόδειξη για την λύση.
Αν Μ(κ,λ) τότε το Α(0,λ) και Β((κ+λ)/2,((κ+λ)/2)
Όμως είναι (ΑΒ)=4 από όπου προκύπτει ότι κ^2+λ^2=32
Δηλαδή το Μ είναι σημείο του κύκλου x^2+y^2=32

Έκανα λίγο βιαστικά τις πράξεις, ελπίζω να είναι σωστός ο κύκλος

Σημείωση : Οι συντεταγμένες του Β θα είναι της μορφής (β,β) αφού ανήκει στην y=x και το β προκύπτει από το ότι το έσωτερικό γινόμενο των διανυσμάτων ΟΒ ΚΑΙ ΒM ισούται με μηδέν.

mLp

Συγνώμη που τα γράφω έτσι αλλά δεν ξέρω να γράφω σε latex

#3

Γιάννη καλησπέρα...Ασχολούμενος με την άσκηση έχω να πω πως:
1)Θεωρώ λίγο ασαφή την εκφώνηση.

2)Αν Μ ( χ0,Ψ0),τότε ο γεωμετρικός τόπος που βγάζω είναι ο κύκλος με κέντρο (0,0) και ακτίνα R= $\displaystyle{\displaystyle 4\sqrt 2 }$ .
Το σκεπτικό μου ήταν το εξής:
Ονόμασα Α το ίχνος της καθέτου στον άξονα ψ'ψ, αρα Α(0,ψ0). Ονόμασα Β το ίχνος της καθέτου πάνω στην ψ=χ. Προέκυψε εύκολα (νομίζω) $\displaystyle{\displaystyle B\left( {\frac{{x_0 + \psi _0 }} {2},\frac{{x_0 + \psi _0 }} {2}} \right) }$ ( Βρήκα την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται απο το Μ και είναι κάθετη προς τη διχοτόμο ψ=χ και στη συνέχεια το σημείο τομής της με αυτή,δηλαδή το Β).
Ξέροντας τα Α, Β δηλαδή τα άκρα του ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ, το οποίου το μήκος δίνεται, προέκυψε η παραπάνω καμπύλη: $\displaystyle{\displaystyle x_0 ^2 + \psi _0 ^2 = \left( {4\sqrt 2 } \right)^2 }$ .
Καλησπέρα!

Ιστοσελίδα · #4

Έστω Μ(x,y) τυχαίο σημείο του γ.τ, είναι Α(0,y) και Β(α,α) αφού είναι σημείο της ευθείας y=x.
Αφού η ΜΒ είναι κάθετη στην ευθεία y = x τότε:
$1 \cdot \frac{{y - \alpha }}{{x - \alpha }} = - 1 \Leftrightarrow \alpha = \frac{{x + y}}{2}$
Επομένως το σημείο Β έχει συντεταγμένες
$B(\frac{{x + y}}{2},\frac{{x + y}}{2})$
Έχουμε:
$AB = 4 \Leftrightarrow \sqrt {\left( {\frac{{x + y}}{2}} \right)^2 + \left( {\frac{{x + y}}{2} - y} \right)^2 } = 4$

Από όπου με πράξεις προκύπτει ότι ο γ.τ του σημείου Μ είναι ο κύκλος
x^2 + y^2 = 32

με προλάβανε αλλά μια και την πληκτρολόγησα...

GiannisL · #5

Αγαπητοί συνάδελφοι ευχαριστώ για τις απαντήσεις σας

#6

Μια πρόχειρη λύση με Ευκλείδεια
Η γωνία ΑΜΒ=135 από το εγγράψιμο ΟΑΜΒ διότι η y=x είναι διχοτόμος και επειδή ΑΒ=σταθ=4 , ο κύκλος ΑΜΒ που περνά από το Ο εχει σταθερή ακτίνα (ΑΒ=2ρημ135). Όμως ΟΜ=διάμετρος=2ρ=σταθ άρα το Μ ανήκει σε κύκλο κέντρου Ο ακτίνας 2ρ
Αντίστροφο...,Διερεύνηση...,κατασκευή...

John13 · #7

Μια διευκρίνηση. Λες στην εκφώνηση ότι το Μ ανήκει στο επίπεδο Οxy. Αυτό δεν σημαίνει όμως ότι το Μ ανήκει στο 1ο τεταρτιμόριο; Έτσι (αν δεν έχω κάνει λάθος στον παραπάνω συλλογισμό) ο γ.τ. δεν είναι ολόκληρος ο κύκλος αλλά μόνο το κομμάτι του που ανήκει στο 1ο τεταρτημόριο.

bab · #8

Να βρεθεί γεωμετρικός τόπος των σημείων M(x,y) για τα οποία το διάνυσμα v=(x,y^2)

σχηματίζει με τον άξονα χ΄χ γωνία ω=135 μοίρες

bab · #9

Κανείς??

Πως μπορώ να αξιοποιήσω την γωνία που μου δίνεται??

#10

Έχουμε ότι: $\vec{i}=(1,0)//x'x$

και $\displaystyle{\sigma \upsilon \nu 135^o=\frac{\vec{i}\cdot\vec{v}}{|\vec{i}|\cdot|\vec{v}|} \Leftrightarrow -\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{x}{\sqrt{x^2+y^4}} \Leftrightarrow y^2=-x, x\leq 0}$ ,

οπότε έχουμε παραβολή.

bab · #11

lepro έγραψε:Έχουμε ότι: $\vec{i}=(1,0)//x'x$

και $\displaystyle{\sigma \upsilon \nu 135^o=\frac{\vec{i}\cdot\vec{v}}{|\vec{i}|\cdot|\vec{v}|} \Leftrightarrow -\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{x}{\sqrt{x^2+y^4}} \Leftrightarrow y^2=-x, x\leq 0}$ ,

οπότε έχουμε παραβολή.

Ευχαριστώ!Βέβαια λίγο τραβηγμένο μου φαίνεται να σκεφτόμουν να θεωρήσω διάνυσμα (1,0)

kostas136 · #12

Ο συντελεστής διεύθυνσης του διανύσματος είναι: $\frac{\psi ^{2}}{\chi } = tan135 = -tan45= -1$
Οπότε όπως γράφτηκε νωρίτερα, καταλήγουμε στον ίδιο γεωμετρικό τόπο. Το $\chi \neq 0$ διότι το διάνυσμα δεν είναι κάθετο στον χ΄χ. Ίσως φαίνεται πιο προσιτός αυτός ο τρόπος στους μαθητές.

Γεωμετρικός τόπος

Γεωμετρικός τόπος

Re: Γεωμετρικός τόπος

Re: Γεωμετρικός τόπος

Re: Γεωμετρικός τόπος

Re: Γεωμετρικός τόπος

Re: Γεωμετρικός τόπος

Re: Γεωμετρικός τόπος

Re: Γεωμετρικός τόπος

Re: Γεωμετρικός τόπος

Re: Γεωμετρικός τόπος

Re: Γεωμετρικός τόπος

Re: Γεωμετρικός τόπος

Μέλη σε σύνδεση