Παραμετρική-Κύκλος

kostas136 · #1

Έστω η εξίσωση: $\displaystyle (x-1^{2}+(y+3)^{2}-20+k(3x+y-10)=0$
Να αποδείξετε ότι η εξίσωση παριστάνει κύκλο $\forall k\in R$ και ότι διέρχεται από 2 σταθερά σημεία τα οποία και να βρείτε.

Νασιούλας Αντώνης · #2

Μετά από πράξεις η σχέση παίρνει τη μορφή:

x^2+y^2+(3k-2)x+(k+6)y-10-10k=0 (1)

Η (1) παριστάνει κύκλο αν και μόνο αν
$(3k-2)^2+(k+6)^2-4(-10-10k)>0\Leftrightarrow...\Leftrightarrow10k^2+40k+80=10(k^2+4k+4+4)=10[(k+2)^2+4]>0$

Άρα η (1) παριστάνει κύκλο.

Αν διέρχεται η δοθείσα από σταθερό σημείο τότε και μόνο τότε οι συντεταγμένες x,y αυτού θα είναι ανεξάρτητες του k και επομένως αυτή θα πρέπει να είναι της μορφής 0κ=0.

Άρα έχουμε το σύστημα :

$(3x+y-10=0 \wedge (x-1)^2+(y+3)^2-20=0)\Leftrightarrow...\Leftrightarrow (y=10-3x \wedge x^2-8x+15=(x-3)(x-5)=0)\Leftrightarrow (x,y) = (3,1) \vee (5,-5)$

Α.Ν.

kostas136 · #3

Ευχαριστώ Αντώνη, well done.

Παραμετρική-Κύκλος

Παραμετρική-Κύκλος

Re: Παραμετρική-Κύκλος

Re: Παραμετρική-Κύκλος

Μέλη σε σύνδεση