5ο Θέμα

KARKAR · #1

Δίνονται οι θετικοί : $a , \beta$ με $a+\beta = 10 , a\beta \geq 24$ , και τα "κινούμενα" σημεία $A(a , 0) , B (0 , \beta )$

1) Δείξτε ότι η μεσοκάθετος του

διέρχεται από σταθερό σημείο ,

και ότι ο κύκλος με διάμετρο

, διέρχεται από δύο σταθερά σημεία .

2) Αν $\phi$ η μέγιστη οξεία γωνία που σχηματίζουν οι μεσοκάθετοι του

, βρείτε το $\sigma \upsilon \nu \phi$ .

3) Βρείτε το ελάχιστο εμβαδόν του κυκλικού δίσκου με διάμετρο

.

#2

1o. Από την υπόθεση προκύπτει πώς τα α, β παίρνουν τιμές από
το κλειστό διάστημα: $\left[4,6 \right]$ και μάλιστα
συμμετρικές ως προς το μέσο 5 διαστήματος αυτού.
Οι συντεταγμένες του Μ είναι
$\displaystyle\ (\frac{\alpha }{2},\frac{\beta }{2})$
και ο συντελεστής διεύθυνσης της ΑΒ είναι:
$\displaystyle\ \lambda =-\frac{\beta }{\alpha }$
επομένως η μεσοκάθετος της ΑΒ έχει εξίσωση:
$\displaystyle y-\frac{\beta }{2}=\frac{\alpha }{\beta }\left(x-\frac{\alpha }{2} \right)$
που τέμνει τη διχοτόμο της πρώτης γωνίας στο σημείο: $\Sigma \left(5,5 \right)$

Η εξίσωση του κύκλου με διάμετρο την ΑΒ είναι:
$\displaystyle \left(x-\frac{\alpha }{2} \right)^2+\left(y-\frac{\beta }{2} \right)^2=\frac{\alpha ^2+\beta ^2}{4}$
που διέρχεται από την αρχή των αξόνων και το σημείο Σ.

2ο. Οι οριακές θέσεις της ΑΒ είναι οι θέσεις των ΓΖ και ΔΕ. Άρα η γωνία των οριακών αυτών μεσοκαθέτων είναι ίση
με τη γωνία των διανυσμάτων:
$\vec{\Gamma Z},\vec{\Delta E}$ .
Άρα:
$\displaystyle cos\varphi =\frac{\vec{\Gamma Z}.\vec{\Delta E}}{\left|\vec{\Gamma Z} \right|\left|\vec{\Delta E} \right|}=\frac{12}{13}$

3o. Για την ακτίνα του κύκλου ισχύει:
$\displaystyle\ R=\frac{\sqrt{\alpha ^2+\beta ^2}}{2}\geq \frac{\sqrt{2\alpha \beta }}{2}\geq \frac{\sqrt{48}}{2}=2\sqrt{3}$
και συνεπώς το ελάχιστο εμβαδόν αυτού του κύκλου είναι:
$E_{min}=\pi R^2=\pi \left(2\sqrt{3} \right)^2=12\pi$

KARKAR · #3

Όμορφη απάντηση σε τέλειο σχήμα !

Στο 3) όμως νομίζω ότι η σωστή απάντηση είναι $12,5\pi$ αφού η ποσότητα :

$\alpha ^2+\beta ^2$ γίνεται ελάχιστη όταν $\alpha =\beta=5$ , δηλαδή όταν $\displaystyle R=\frac{\sqrt{50}}{2}$ .

#4

Ναι έχεις δίκιο. Αβλεψία μου.
Αν και μέτρησα το εμβαδόν του κύκλου στη θέση αυτή
με το λογισμικό, παρόλα αυτά με παρέσυρε
η αρχική ανισότητα:
$\alpha \beta \geq 24$

5ο Θέμα

5ο Θέμα

Re: 5ο Θέμα

Re: 5ο Θέμα

Re: 5ο Θέμα

Μέλη σε σύνδεση