Διάμετρος έλλειψης.

slash · #1

Στο σχολικό βιβλίο λέει:''Αποδεικνύεται ότι η διάμετρος της έλλειψης είναι μεγαλύτερη ή ίση του μικρού άξονα και μικρότερη ή ίση του μεγάλου άξονα''. Σκέφτηκαν να προσπαθήσω να το αποδείξω και μέχρι στιγμής έχω λύσει μόνο το ένα σκέλος. Μου μένει συγκεκριμένα να αποδείξω οτι είναι μεγαλύτερη ή ίση απο το μικρό άξονα.(το έχω αποδείξει κάπως , αλλά δεν είναι αυστηρά μαθηματικός τρόπος)

Παραθέτω το πρώτο σκέλος και περιμένω λύσεις για το δεύτερο (και ίσως διαφορετικές λύσεις για το πρώτο.)

ΑΠΟΔΕΙΞΗ
Έστω Μ1 και Μ2 τα αντιδιαμετρικά σημεία της έλλειψης. Φέρω τις Μ1Ε' , Μ1Ε,Μ2Ε',Μ2Ε.Το τετράπλευρο Μ1ΕΜ2Ε' είναι παρ/μο καθώς οι διαγώνιοι του διχοτομούνται. Συνεπώσ:
$M_{1}E=M_{2}E'$
Εφαρμόζουμε τριγωνική ανισότητα στο Μ1Ε'Μ2 και χρησιμοποιούμε την προηγούμενη σχέση.
$M_{1}E'+E'M_{2}\geq M_{1}M_{2}\Leftrightarrow M_{1}E'+ M_{1}E\geq M_{1}M_{2}\Leftrightarrow M_{1}M_{2}\leq 2a$ ό.έ.δ

parmenides51 · #2

Μπορούμε πιο απλά να σχηματίσουμε τους ομόκεντρους κύκλους με κέντρο Ο και διάμετρο ΒΒ' και ΑΑ' αντίστοιχα και να πούμε ότι γεωμετρικά αν φέρουμε διάμετρο ΚΛ του μεγάλου κύκλου $\left( O,\frac{AA^{\prime }}{2}\right)$ [όχι απαραίτητα παράλληλη στους άξονες] που τέμνει την έλλειψη στα σημεία M₁,M₂ και τον μικρό κύκλο $\left( O,\frac{BB^{\prime }}{2}\right)$ στα σημεία Ν1,Ν2 προφανώς θα ισχύει οτι $N_{1}N_{2}\leq M_{1}M_{2}\leq K\Lambda \Leftrightarrow 2\beta \leq M_{1}M_{2}\leq 2\alpha$ Το εκάστοτε ίσον ισχύει προφανώς όταν η διάμετρος είναι παράλληλη στους άξονες. Μήπως όμως χρησιμοποιώ στην κατασκευή των κύκλων σαν δεδομένο την αποδεικτέα σχεση από την στιγμή που γνωρίζω ότι η έλλειψη ''περιέχεται'' στους δύο κύκλους και πρακτικά δεν απέδειξα τίποτα?

#3

Κάπως πιο αναλυτικά η ιδέα του parmenides51

Είναι γνωστή η "κατασκευή" σημείων Μ της έλλειψης από μια τυχαία ακτίνα ΟΑ του μεγάλου πράσινου κύκλου που τέμνει
το μικρό πράσινο κύκλο στο σημείο Β και από τις κάθετες ΑΕ, ΜD στους άξονες ΟΧ, ΟΨ αντίστοιχα.
Αν ω είναι η γωνία που σχηματίζει η ΟΗ με την ΟΑ τότε θα είναι:
$\displaystyle OM^2=OE^2+OD^2=[(OA)cos\omega]^2+[(OB)sin\omega ]^2\Rightarrow \\\Rightarrow OM^2=OA^2cos^2\omega +OB^2sin^2\omega \ \ (1)$

Ζητούμε ότι:

$\displaystyle OM\geq OF\Leftrightarrow OM^2\geq OD^2\Leftrightarrow OA^2cos^2\omega +OB^2sin^2\omega \geq OF^2\Leftrightarrow \\\Leftrightarrow OA^2cos^2\omega \geq OB^2-OB^2sin^2\omega \Leftrightarrow OA^2cos^2\omega \geq OB^2cos^2\omega \Leftrightarrow OA\geq OB$
(Διότι ΟB=OF, και η ΟΜ είναι η τυχαία ημιδιάμετρος)

Με τον ίδιο τρόπο δείχνεται και η άλλη ανισότητα.
(Για την κατασκευή της έλλειψης με τον τρόπο αυτό αναρτώ και το δυναμικό σχήμα)

Κώστας Δόρτσιος

#4

Αρκεί να δείξουμε τις αντίστοιχες ανισότητες για την ημιδιάμετρο και τους ημιάξονες, οι οποίες αν Μ(x, y ) είναι το ένα άκρο της διαμέτρου και b<a γράφονται:

$b\leq \sqrt{x^2+y^2}\leq a$

Η πρώτη, τώρα, προκύπτει απ΄ευθείας από την παρατήρηση:

$1=\sqrt{\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}}\leq \sqrt{\frac{x^2+y^2}{b^2}}=\frac{\sqrt{x^2+y^2}}{b}$

Ομοίως η δεύτερη.

Διάμετρος έλλειψης.

Διάμετρος έλλειψης.

Re: Διάμετρος έλλειψης.

Re: Διάμετρος έλλειψης.

Re: Διάμετρος έλλειψης.

Μέλη σε σύνδεση