επαναληπτική στην παραβολή

Ιστοσελίδα · #1

Δίνεται η παραβολή $\displaystyle{y = x^2 }$
α) Να γράψετε τις συντεταγμένες της εστίας της και την εξίσωση της διευθετούσας της.
β) Μια ευθεία $\displaystyle{(\varepsilon )}$ διέρχεται από το σημείο $\displaystyle{A(0,1)}$ και έχει συντελεστή διεύθυνσης $\displaystyle{ \lambda }$ , η ευθεία $\displaystyle{(\varepsilon )}$ τέμνει την παραβολή στα σημεία $\displaystyle{K}$ και $\displaystyle{ \Lambda }$
i) Αν $\displaystyle{B,\Gamma }$ είναι οι προβολές των $\displaystyle{K,\Lambda }$ στον οριζόντιο άξονα, να δείξετε ότι το γινόμενο $\displaystyle{x_1 \cdot x_2 }$ των τετμημένων των $\displaystyle{K}$ και $\displaystyle{\Lambda }$ αντίστοιχα, είναι σταθερό.
ii) Να δείξετε ότι το τρίγωνο $\displaystyle{BA\Gamma }$ είναι ορθογώνιο.

Κατάλληλη για διαγώνισμα το πρώτο ερώτημα απλό το δεύτερο με κάποια δυσκολία και το τρίτο επαληθεύει ουσιαστικά την απάντηση του β ερωτήματος

#2

α) Η παραβολή είναι της μορφής $\displaystyle{ x^2 = 2py }$ με $\displaystyle{ 2p = 1 \Rightarrow p = \frac{1} {2} \Rightarrow \boxed{\left\{ \begin{gathered} E\left( {0,\frac{1} {4}} \right) \hfill \\ \left( \delta \right):y = - \frac{1} {4} \hfill \\ \end{gathered} \right.} }$

β) Η εξίσωση της (ε) είναι $\displaystyle{ \left( \varepsilon \right):y - 1 = \lambda x \Leftrightarrow \boxed{\left( \varepsilon \right):y = \lambda x + 1} }$

Τα σημεία τομής της (ε) με την παραβολή θα προκύψουν από τη λύση του συστήματος των εξισώσεών τους δηλαδή

$\displaystyle{ K,\Lambda :\left\{ \begin{gathered} y = x^2 \hfill \\ y = \lambda x + 1 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} \lambda x + 1 = x^2 \hfill \\ y = \lambda x + 1 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \boxed{\left\{ \begin{gathered} x^2 - \lambda x - 1 = 0:\left( 1 \right) \hfill \\ y = \lambda x + 1 \hfill \\ \end{gathered} \right.} }$

i) Η λύση της (1) θα δώσει τις τετμημένες $\displaystyle{ x_1 ,x_2 }$ (έστω) των Κ, Λ αντίστοιχα δηλαδή τις τετμημένες των Β και Γ και επειδή είναι δευτεροβάθμιας θα ισχύει $\displaystyle{ x_1 \cdot x_2 \mathop = \limits^{\frac{\gamma } {\alpha }} \frac{{ - 1}} {1} \Rightarrow \boxed{x_1 \cdot x_2 = - 1} }$

ii) Είναι $\displaystyle{ {\rm B}\left( {x_1 ,0} \right),\Gamma \left( {x_2 ,0} \right) }$ και $\displaystyle{ \overrightarrow {{\rm A}{\rm B}} = \left( {x_1 - 0,0 - 1} \right) \Rightarrow \boxed{\overrightarrow {{\rm A}{\rm B}} = \left( {x_1 , - 1} \right)} }$ , $\displaystyle{ \overrightarrow {{\rm A}\Gamma } = \left( {x_2 - 0,0 - 1} \right) \Rightarrow \boxed{\overrightarrow {{\rm A}\Gamma } = \left( {x_2 , - 1} \right)} }$ και επειδή

$\displaystyle{ \overrightarrow {{\rm A}{\rm B}} \cdot \overrightarrow {{\rm A}\Gamma } = x_1 \cdot x_2 + \left( { - 1} \right) \cdot \left( { - 1} \right)\mathop = \limits^{x_1 \cdot x_2 = - 1} - 1 + 1 = 0 \Rightarrow \overrightarrow {{\rm A}{\rm B}} \bot \overrightarrow {{\rm A}\Gamma } \Rightarrow \boxed{\widehat{{\rm B}{\rm A}\Gamma } = 90^0 } }$ δηλαδή το τρίγωνο ΒΑΓ είναι ορθογώνιο στο Α

Φιλικά

Στάθης Κούτρας

επαναληπτική στην παραβολή

επαναληπτική στην παραβολή

Re: επαναληπτική στην παραβολή

Μέλη σε σύνδεση