Μαθ.Κατ. Β΄λυκείου "Κύκλος"

vasilis.volos.13 · #1

Μια Άσκησή μου στον κύκλο
Έστω ότι η εξίσωση $x^{2}+y^{2}+Ax+By=0$ αποτελεί εξίσωση κύκλου και το σημείο Α(4,2) ανήκει στον κύκλο.Άν η ευθεία (ε):y=-x εφάπτεται του κύκλου τότε να βρεθεί η εξίσωσή του.
(Δεν βγαίνουν καλά νούμερα)

Βασίλης Ευαγγέλου

Γιώργος Απόκης · #2

Aφού ο κύκλος διέρχεται από το Α, με αντικατάσταση προκύπτει 2A+B=-10

(1).

To O(0,0) είναι σημείο του και η y=-x (που διέρχεται από το Ο) είναι εφαπτομένη του. Άρα,
θα είναι εφαπτομένη στο Ο. Αυτό σημαίνει ότι θα είναι κάθετη στην ακτίνα στο Ο.
Άρα, το κέντρο ανήκει στην κάθετη αυτή, που είναι η y=x. Άρα, έχουμε K(x_0,x_0)

(2).

Eπιπλέον, ισχύει $\displaystyle{K \left(-\frac{A}{2},-\frac{B}{2} \right)}$ , άρα από τη (2), προκύπτει A=B

(3).
Mε αντικατάσταση της (3) στην (1), έχουμε $\displaystyle{A=B=-\frac{10}{3}}$ και, τελικά ο κύκλος είναι ο

$\displaystyle{C: x^2+y^2-\frac{10}{3}x-\frac{10}{3}y=0}$ .

ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΤΣΙΠΟΔΑΣ · #3

Μια άλλη αντιμετώπιση:

Aφού ο κύκλος διέρχεται από το Α, με αντικατάσταση προκύπτει 2A+B=-10

(1).

Η $\displaystyle{x^2 + \psi ^2 + {\rm A}x + {\rm B}\psi = 0}$ παριστάνει κύκλο με κέντρο $\displaystyle{ {\rm K}( - \frac{{\rm A}}{2}, - \frac{{\rm B}}{2}) }$ και ακτίνας $\displaystyle{\rho = \frac{{\sqrt {{\rm A}^2 + {\rm B}^2 } }}{2}}$

Επειδή ο κύκλος έφάπτεται στην ευθεία ε: $\displaystyle{x + \psi = 0}$ έχουμε

$\displaystyle{ d(K,\varepsilon ) = \rho \Leftrightarrow \frac{{\left| { - \frac{{\rm A}}{2} - \frac{{\rm B}}{2}} \right|}}{{\sqrt {1^2 + 1^2 } }} = \frac{{\sqrt {{\rm A}^2 + {\rm B}^2 } }}{2} \Leftrightarrow \frac{{\left| {{\rm A} + {\rm B}} \right|}}{{2\sqrt 2 }} = \frac{{\sqrt {{\rm A}^2 + {\rm B}^2 } }}{2} \Leftrightarrow }$

$\displaystyle{ \frac{{\left| {{\rm A} + {\rm B}} \right|}}{{\sqrt 2 }} = \sqrt {{\rm A}^2 + {\rm B}^2 } \Leftrightarrow \left| {{\rm A} + {\rm B}} \right| = \sqrt 2 \cdot \sqrt {{\rm A}^2 + {\rm B}^2 } \Leftrightarrow {\rm A}^2 + 2{\rm A}{\rm B} + {\rm B}^2 = 2{\rm A}^2 + 2{\rm B}^2 \Leftrightarrow ({\rm A} - {\rm B})^2 = 0 \Leftrightarrow {\rm A} = {\rm B} }$ (2)

Απο (1),(2) βρίσκουμε $\displaystyle{{\rm A} = {\rm B} = - \frac{{10}}{3}}$

Ιστοσελίδα · #4

Ακόμα μια αντιμετώπιση

Aφού ο κύκλος διέρχεται από το Α, με αντικατάσταση προκύπτει $\displaystyle{2A + B = - 10}$ (1)
Τότε η εξίσωση του κύκλου γίνεται ${x^2} + {y^2} + Ax - (2A + 10)y = 0$ (2)
Η ευθεία y = - x

(3) είναι εφαπτομένη του κύκλου αν και μόνο αν η το σύστημα των εξισώσεων (2) και (3) έχει μοναδική λύση.
Αυτό συμβαίνει μόνο όταν η εξίσωση $2{x^2} - (3A + 10)x = 0$ έχει διακρίνουσα ίση με το μηδέν. Δηλαδή όταν $\displaystyle{{(3{\rm{A + 10)}}^2} = 0 \Leftrightarrow A = - \frac{{10}}{3}}$
Τότε η εξίσωση του κύκλου είναι η ${x^2} + {y^2} - \frac{{10}}{3}x - \frac{{10}}{3}y = 0$
Μίλτος

Μαθ.Κατ. Β΄λυκείου "Κύκλος"

Μαθ.Κατ. Β΄λυκείου "Κύκλος"

Re: Μαθ.Κατ. Β΄λυκείου "Κύκλος"

Re: Μαθ.Κατ. Β΄λυκείου "Κύκλος"

Re: Μαθ.Κατ. Β΄λυκείου "Κύκλος"

Μέλη σε σύνδεση