Εκκεντρότητα υπερβολής.

#1

Έστω μια υπερβολή C: $\displaystyle{\displaystyle \frac{{x^2 }} {{a^2 }} - \frac{{y^2 }} {{\beta ^2 }} = 1 }$ . Η γωνία των ασυμπτώτων της C , στην οποία βρίσκεται ο δεξιός κλάδος της, είναι $\displaystyle{\displaystyle \frac{{3\pi }} {4} }$ . Να βρείτε την εκκεντρότητα της C.
Aσκηση απο βιβλίο κατεύθυνσης Β'Λυκείου του Α.Κυριακόπουλου. ( Εξαιρετικά βιβλία που είχα στη βιβλιοθήκη μου αρκετό καιρό και μόλις ...χθες κατανόησα ποιός είναι ο συγγραφέας τους! )

ΧΡΗΣΤΟΣ ΚΑΡΔΑΣΗΣ · #2

Είναι $\displaystyle{\frac{\beta }{\alpha } = \sqrt {\varepsilon ^2 - 1} \Leftrightarrow \varepsilon \phi \frac{{3\pi }}{8} = \sqrt {\varepsilon ^2 - 1} }$

Άρα $\displaystyle{\varepsilon \phi ^2 \frac{{3\pi }}{8} = \varepsilon ^2 - 1 \Leftrightarrow \varepsilon ^2 = 1 + \frac{{1 - \sigma \upsilon \nu \frac{{3\pi }}{4}}}{{1 + \sigma \upsilon \nu \frac{{3\pi }}{4}}} = 2(2 + \sqrt 2 )}$

και τελικά $\displaystyle{\varepsilon = \sqrt {2(2 + \sqrt 2 )} }$

Ευχαριστώ Χρήστο για το κόλπο και τον κύριο Μαυρογιάννη φυσικά ...
( μιλάω για τη μετατροπή από Mathtype σε Latex )

killbill · #3

το βιβλίο δεν μελετάει την εκκεντρότητα υπερβολής με τις εστίες της στον yy'. Επίσης από όσα βοηθήματα έχω δεν είδα να μελετάται...

Ο τύπος (1) στην σελίδα 119 του βιβλίου γράφεται για την περίπτωση της υπερβολής με εστίες στον yy'
$\frac{a}{b} = \frac{1} {\sqrt{e^2-1}}$
από τον οποίο συμπεραίνουμε ότι: μεγάλη εκκεντρότητα σημαίνει μικρή λύση της ασύμπτωτης! (και όχι μεγάλη κλίση όπως στην περίπτωση της υπερβολής με εστίες στον χχ')
Επίσης στην περίπτωση της υπερβολής με εστίες στον yy', μικρή κλίση της ασύμπτωτης σημαίνει η υπερβολή πιο ανοιχτή, αντίθετα με την περίπτωση υπερβολής με εστίες στον χχ'

Βέβαια και στις δύο περιπτώσεις έχουμε το συμπέρασμα ότι μεγάλη εκκεντρότητα σημαίνει η υπερβολή πιο ανοικτή! απλά στην 1η περίπτωση μεγάλη εκκεντρότητα σημαίνει μεγάλη κλίση ασυμπτώτων ενώ στη 2η περίπτωση μικρή κλίση αλλά πάλι είναι πιο ανοικτή.

Προσοχή λοιπον όταν βάζουμε ερώτηση Σωστό - Λάθος για τα παραπάνω. Θέλει διευκρίνηση.

Εκκεντρότητα υπερβολής.

Εκκεντρότητα υπερβολής.

Re: Εκκεντρότητα υπερβολής.

Re: Εκκεντρότητα υπερβολής.

Μέλη σε σύνδεση