Ελάχιστη απόσταση

Γιώργος Απόκης · #1

Δίνεται η παραβολή C:y=x^2

και η ευθεία $(\epsilon):6x-y-20=0$ . Θεωρούμε σημείο

της παραβολής
και την απόστασή του d=(MN)

από την ευθεία (το

επί της $\epsilon$ ).

α) Να βρεθεί η ελάχιστη τιμή της

.
β) Για την τιμή αυτή της d, να βρεθούν τα M,N

.

#2

α) Έστω $\displaystyle \ M '(x,y)=\ M '(x,x^2)$ τυχαίο σημείο της παραβολής.
Η απόσταση του σημείου αυτού από την ευθεία
$\displaystyle \left(\varepsilon \right):6x-y-20=0 \ \ (1)$
είναι:
$\displaystyle d_{(\ M ',\varepsilon) }=\frac{\left|6x-x^2-20 \right|}{\sqrt{6^2+1^2}}=\frac{1}{\sqrt{37}}\left[\left(x-3 \right)^2+11 \right]\geq \frac{11}{\sqrt{37}}\approx 1.81$
Άρα η ελάχιστη τιμή είναι:
$\displaystyle d_{(\ M ',\varepsilon) }(min)= \frac{11}{\sqrt{37}}$
την ελάχιστη αυτή τιμή την η παράσταση d την παίρνει για $\displaystyle x=3$ .
Έτσι το ζητούμενο σημείο είναι: $\displaystyle \ M \left(3,9 \right)$ .
Η εξίσωση της καθέτου από το σημείο Μ προς την ε εύκολα βρίσκεται πως είναι:
$\displaystyle (\varepsilon '):x+6y=57 \ \ (2)$
Λύνοντας το σύστημα των (1) και (2) βρίσκουμε ότι το σημείο Ν έχει συντεταγμένες:
$\displaystyle x=\frac{177}{37}\approx 4.78, \ \ y=\frac{322}{37}\approx 8.70$

Κώστας Δόρτσιος

PanosG · #3

Το σημείο Μ ανήκει στην παραβολή και έστω ότι έχει συντεταγμένες M(x_1,x_1^2)

.
Η απόσταση του Μ από την ευθεία ε είναι:

$\displaystyle d(M,\varepsilon)=\frac{|6x_1-x_1^2-20|}{\sqrt{37}}=\frac{x_1^2-6x_1+20}{\sqrt{37}}$

Η απόσταση γίνεται ελάχιστη όταν $x_1=\frac{-b}{2a}=3$ και ισούται με
$\displaystyle d(M,\varepsilon)=\frac{11}{\sqrt{37}}$
τότε το σημείο Μ έχει συντεταγμένες M(3,9)

Η ευθεία ΜΝ έχει συντελεστή διεύθυνσης:
$\displaystyle \lambda_{MN} \lambda_{\varepsilon}=-1\Leftrightarrow \lambda_{MN}=-\frac{1}{6}$
Οπότε έχει εξίσωση:
$y-9=-\frac{1}{6}(x-3)\Leftrightarrow x+6y-57=0$
Λύνοντας το σύστημα των 2 ευθειών βρίσκουμε τις συντεταγμένες του σημείου Ν
οι οποίες βγαίνουν λίγο ύποπτες και επιφυλάσσομαι μήπως έχω κάποιο αριθμητικό λάθος.

Γιώργος Απόκης · #4

Οι λύσεις είναι σωστές και πράγματι οι συντεταγμένες του Ν είναι "ύποπτες". Προσπάθησα το Μ να έχει "καλές" συντεταγμένες...

Ελάχιστη απόσταση

Ελάχιστη απόσταση

Re: Ελάχιστη απόσταση

Re: Ελάχιστη απόσταση

Re: Ελάχιστη απόσταση

Μέλη σε σύνδεση