Ορθοκεντρική τετράδα

Γιώργος Απόκης · #1

Δίνεται η ισοσκελής υπερβολή x^2-y^2=a^2

. Θεωρούμε τις κορυφές της A,A{'}

και δύο σημεία της M,M{'}

συμμετρικά ως προς τον x{'}x

. Να δείξετε ότι τα σημεία A,A{'},M,M{'}

αποτελούν ορθοκεντρική τετράδα.

#2

Το έχουμε συζητήσει γενικότερο ερώτημα παλαιότερα, αλλά άντε βρες το.

Ισχύει γενικότερα το:

Αν πάρουμε οποιαδήποτε τρία σημεία σε μία ορθγώνια υπερβολή (επιτρέπεται και τα τρία να είναι στον ίδιο κλάδο ή, αντίστοιχα, σε δύο κλάδους) τότε το ορθόκεντρο του τριγώνου που σχηματίζουν είναι και αυτό στην υπερβολή.

Για την απόδειξη είναι ευκολότερο να εργαστούμε με την xy=c^2

, που προκύπτει στροφή 90^o

της

.

Φιλικά,

Μιχάλης

#3

Είναι εδώ: viewtopic.php?f=23&t=12880

#4

Mihalis_Lambrou έγραψε: Αν πάρουμε οποιαδήποτε τρία σημεία σε μία ορθγώνια υπερβολή (επιτρέπεται και τα τρία να είναι στον ίδιο κλάδο ή, αντίστοιχα, σε δύο κλάδους) τότε το ορθόκεντρο του τριγώνου που σχηματίζουν είναι και αυτό στην υπερβολή.

Ας βάλω μία λίγο διαφορετική λύση από αυτήν της παραπάνω παραπομπής. Πιο πολύ το κάνω γιατί χρησιμοποιεί την λεγόμενη "παραμετρική μορφή" της καμπύλης.

Δυστυχώς την παραμετρική μορφή δεν την διδάσκουμε στα παιδιά μας, αν και τετριμμένη. Σχεδόν πάντα λύνει τις ασκήσεις ευκολότερα και με τις "μισές πράξεις".

Εργαζόμεστε στην υπερβολή xy=p^2

, οπότε οι κορυφές του τριγώνου ABC

έχουν την μορφή $\displaystyle {A\left(pa, \frac{p}{a}\right),\, B \left(pb, \frac{p}{b}\right),\,C\left(pc, \frac{p}{c}\right)$ (εδώ μπήκε η παραμετρική μορφή). Αν το ύψος από το

τέμνει την υπερβολή στο $\displaystyle {H\left(ph, \frac{p}{h}\right)$ , η συνθήκη καθετότητας $\displaystyle {AH\perp BC$ δίνει

$\displaystyle { \frac{\frac {p}{h}-\frac {p}{a}}{ph-pa}\cdot \frac{\frac {p}{b}-\frac {p}{c}}{pb-pc} = -1$

που απλοποιείται στο abch=-1

. Αυτή είναι συμμετρική. Έπεται αυτόματα ότι $BH \perp AC$ (πρόκειται για ακριβώς την ίδια συνθήκη) και όμοια $CH \perp AB$ . Δηλαδή το

είναι το ορθόκεντρο του τριγώνου. Τελειώσαμε.

Φιλικά,

Μιχάλης.

#5

George73 έγραψε:Δίνεται η ισοσκελής υπερβολή . Θεωρούμε τις κορυφές της και δύο σημεία της

συμμετρικά ως προς τον . Να δείξετε ότι τα σημεία αποτελούν ορθοκεντρική τετράδα.

Αν θεωρήσουμε δεδομένο ότι τα άκρα κάθε διαμέτρου της ισοσκελούς υπερβολής (εδώ της διαμέτρου ΑΑ') βλέπουν κάθε χορδή της (εδώ την χορδή ΜΜ' ) υπό ίσες ή παραπληρωματικές γωνίες (εδώ παραπληρωματικές), τότε εύκολα αποδεικνύουμε ότι η ΜΑ είναι κάθετη στην Μ'Α' κ.λπ.

Ορθοκεντρική τετράδα

Ορθοκεντρική τετράδα

Re: Ορθοκεντρική τετράδα

Re: Ορθοκεντρική τετράδα

Re: Ορθοκεντρική τετράδα

Re: Ορθοκεντρική τετράδα

Μέλη σε σύνδεση