Γωνία σε παραβολή

Γιώργος Απόκης · #1

[Με αφορμή την άσκηση 4 (Α' Ομάδας) σελ. 99 του σχολικού]

Δίνεται η παραβολή $x^2=2py\quad (p>0)$ και τα σημεία της A,B

(διάφορα του

) με κοινή τεταγμένη y_1

. Αν $\widehat{AOB}=\omega$ ,

α) Να εκφράσετε το $cos\omega$ ως συνάρτηση του y_1

.
β) Να βρείτε το είδος της γωνίας $\omega$ για τις διάφορες τιμές του y_1

.
γ) Nα βρείτε όλες τις τιμές που παίρνει η γωνία $\omega$ για $y_1 \in (0,+\infty)$ .

#2

1ο
Στο ισοσκελές τρίγωνο $\displaystyle{OAB}$ η $\displaystyle{OC}$ είναι ύψος, διάμεσος και διχοτόμος.
Άρα:
$\displaystyle{cos(\frac{\omega}{2})}=\frac{OC}{OB}=\frac{y_1}{\sqrt{x_1^2+y_1^2}}$
και επειδή:
$\displaystyle{x_1^2=2py_1}$
θα είναι ακόμα:
$\displaystyle{cos(\frac{\omega}{2})=\frac{y_1}{\sqrt{2py_1+y_1^2}}}$
άρα τελικά είναι:
$\displaystyle{cos(\omega)=2cos^2(\frac{\omega}{2})-1=2\frac{y_1^2}{2py_1+y_1^2}-1=\frac{2y_1}{2p+y_1}-1=\frac{y_1-2p}{y_1+2p}}$
δηλαδή:
$\displaystyle{cos(\omega)=\frac{y_1-2p}{y_1+2p} \ \ (1)}$
Ο τύπος (1) δίνει για το συνημίτονο της γωνίας αυτής πάντα τιμή μικρότερη της μονάδας διότι:
$\displaystyle{\displaystyle \left|\frac{y_1-2p}{y_1+2p} \right|<1\Leftrightarrow\left|y_1-2p \right|<\left|y_1+2p \right| \Leftrightarrow\left|y_1-2p \right|^2<\left|y_1+2p \right|^2\Leftrightarrow y_1^2-4y_1p+4p^2< y_1^2+4y_1p+4p^2\Leftrightarrow -4y_1p<4y_1p}$
η τελευταία ισχύει διότι $\displaystyle{y_1>0, \ \ p>0}$

2ο
Από τον τύπο (1) προκύπτει:
$\displaystyle \left.\begin{matrix} y_1<2p \Rightarrow y_1-2p<0\Rightarrow \hat{\omega }>90^o\\ y_1=2p\Rightarrow y_1-2p=0\Rightarrow \hat{\omega }=90^o \\ y_1>2p\Rightarrow y_1-2p>0\Rightarrow \hat{\omega }<90^o \end{matrix}\right\}$

3o
Σχετικά με τις τιμές της γωνίας $\displaystyle{\omega}$ ισχύει:
$\displaystyle{\omega<180^o}$ διότι είναι γωνία της κορυφής του ισοσκελούς τριγώνου $\displaystyle{OAB}$ .
Ακόμα από τον τύπο (1) είναι:
$\displaystyle y_1=2p\frac{1+cos\omega }{1-cos\omega }$
και επειδή $\displaystyle y_1\in \left(0,+\propto \right)$ θα είναι:
$\displaystyle \frac{1+cos\omega }{1-cos\omega }>0\Leftrightarrow -1<cos\omega <1$
Άρα: $\displaystyle \omega \in \left(0,180^o \right)$

Κώστας Δόρτσιος

alexandropoulos · #3

Αν κάνουμε την παρασπονδία και πουμε ότι $A\left(t,\frac{t^2}{2p} \right)$ τότε ο συντελεστής διεύθυνης της ΟΑ είναι $\lambda_O_A =\frac{t^2/2p}{t}=\frac{t}{2p}$ . Είναι $\epsilon \phi \left(\frac{\pi }{2}-\frac{\omega }{2}\right)=\sigma \phi \omega= \frac{t}{2p}$ .Από την

.
α. Είναι $\sigma \upsilon \nu \omega =\frac{\sigma \phi ^2\frac{\omega }{2}-1}{\sigma \phi ^2\frac{\omega }{2}+1}$ =
β. Αν $\frac{t}{2p}<1\Rightarrow \omega>90^0$
Αν $\frac{t}{2p}=1\Rightarrow \omega =90^0$
Αν $\frac{t}{2p}>1\Rightarrow \omega <90^0$

Γωνία σε παραβολή

Γωνία σε παραβολή

Re: Γωνία σε παραβολή

Re: Γωνία σε παραβολή

Μέλη σε σύνδεση