Τέμνονται στην υποτείνουσα

Γιώργος Απόκης · #1

Δίνονται τα σημεία B(b,0),C(0,c)

με

. Με διαμέτρους τα OB,OC

γράφουμε ημικύκλια με τα σημεία τους στο 1ο τεταρτημόριο.

Να δείξετε ότι τα δύο ημικύκλια τέμνονται επί του τμήματος

.

#2

Έστω ότι το ημικύκλιο διαμέτρου

τέμνει την

στο σημείο

. Τότε η γωνία OTB

είναι ορθή και άρα και το ημικύκλιο διαμέτρου

θα διέλθει από το σημείο

, οπότε τα σημεία C,T,B

είναι συνευθειακά.

Γιώργος Απόκης · #3

Πολύ ωραία και σύντομη λύση. Περιμένω και μία με αναλυτική...

#4

Το ημικύκλιο OB έχει εξίσωση: $\displaystyle{\left (x-\frac{b}{2} \right )^2+y^2=\frac{b^2}{4},y \geq 0 (I)}$ .

Το ημικύκλιο OC έχει εξίσωση: $\displaystyle{x^2+\left (y-\frac{c}{2} \right )^2=\frac{c^2}{4},x \geq 0 (II)}$ .

Λύνοντας το σύστημα των εξισώσεων (Ι), (ΙΙ) βρίσκουμε ότι:

$\displaystyle{(x,y)=(0,0)}$ ή $\displaystyle{(x,y)=\left( \frac{bc^2}{b^2+c^2},\frac{b^2c}{b^2+c^2} \right )}$ .

Επομένως κοινά σημεία είναι τα: O(0,0)

και $\displaystyle{D\left( \frac{bc^2}{b^2+c^2},\frac{b^2c}{b^2+c^2} \right )}$ .

Η ευθεία

έχει εξίσωση: $\displaystyle{y-0=\frac{c-0}{0-b}(x-b) \Leftrightarrow by+cx-bc=0 (III)}$

Αντικαθιστώντας στην (ΙΙΙ) τις συντεταγμένες του σημείου

βρίσκουμε ότι αυτές επαληθεύουν την ευθεία

.

Τέμνονται στην υποτείνουσα

Τέμνονται στην υποτείνουσα

Re: Τέμνονται στην υποτείνουσα

Re: Τέμνονται στην υποτείνουσα

Re: Τέμνονται στην υποτείνουσα

Μέλη σε σύνδεση