Κύκλος από σταθερά σημείο

Γιώργος Απόκης · #1

Δίνεται η εξίσωση a(x^2+y^2+2x-2y-23)+b(x^2+y^2-6x+12y-35)=0

$(a,b\in \mathbb R)$ .

α) Να βρεθούν οι συνθήκες μεταξύ των a,b

ώστε η εξίσωση να παριστάνει κύκλο.
β) Με τις συνθήκες αυτές να ισχύουν, να δείξετε ότι ο παραπάνω κύκλος διέρχεται από 2 σταθερά σημεία.

Εdit: Τα σημεία είναι 2.

polysindos · #2

α) η συνθήκη είναι $a+b\neq 0$

β) τα κοινά σημεία είναι δύο $\left ( \frac{47}{13},\frac{38}{13} \right )$ και $\left ( -5,-2 \right )$

parmenides51 · #3

Καλύτερα να συμπληρώσεις μια αναλυτική λύση σύμφωνα με τον κανονισμό στην αρχική σελίδα
φιλικά

edit: απόκρυψη παράθεσης παραγράφου 2 του κανονισμού

polysindos · #4

Η αρχική εξίσωση γράφεται
$\left ( a+b \right )x^{2}+\left ( a+b \right )y^{2}+2\left ( a-3b \right )x-2\left ( a-6b \right )y-23a-35b=0$
θα πρέπει να διαιρέσουμε με a+b

άρα $a+b\neq 0$
και η εξίσωση μετατρέπεται σε $\left ( x+\frac{a-3b}{a+b} \right )^{2}+\left ( y- \frac{a-6b}{a+b}\right )^{2}=\frac{25a^{2}+40ab+80b^{2}}{\left ( a+b \right )^{2}}$
το δεύτερο μέλος είναι πάντα θετικό αν τα

και

δεν είναι ταυτόχρονα

γιατί αν θεωρήσουμε τον αριθμητή σαν τριώνυμο του

η διακρίνουσα είναι $-6400b^{2}< 0$
άρα η μόνη συνθήκη είναι $a+b\neq 0$
τα σταθερά σημεία των κύκλων θα πρέπει να είναι ανεξάρτητα από τις τιμές

και

έτσι προκύπτει το σύστημα
$x^{2}+y^{2}+2x-2y-23=0$
$x^{2}+y^{2}-6x+12y-35=0$
αφαιρώντας κατά μέλη έχουμε 8x-14y+12=0

και λύνοντας ως προς

βρίσκουμε $x=\frac{7y-6}{4}$
και αντικαθιστώντας στην πρώτη καταλήγουμε στην εξίσωση $65y^{2}-60y-380=0$

οι λύσεις του συστήματος είναι $\left ( -5,-2 \right )$ και $\left ( \frac{47}{13},\frac{38}{13} \right )$

polysindos · #5

Κύκλος από σταθερά σημείο

Κύκλος από σταθερά σημείο

Re: Κύκλος από σταθερό σημείο

Re: Κύκλος από σταθερά σημείο

Re: Κύκλος από σταθερά σημείο

Re: Κύκλος από σταθερά σημείο

Μέλη σε σύνδεση