Λόγος χορδών

KARKAR · #1

Η διάμετρος

ημικυκλίου , βρίσκεται επί του άξονα xx'

(

η αρχή των αξόνων )

Κύκλος με κέντρο $\displaystyle K (a , \frac{a}{3})$ εφάπτεται της

στο

και του ημικυκλίου στο

Δείξτε ότι : OB=2BC

kostas136 · #2

Αρκεί $\displaystyle OB^{2}=4BC^{2}$ ή $\displaystyle 5BC^{2}=OC^{2}=4R^{2}$

Έστω L(R,0)

το κέντρο για το ημικύκλιο, άρα C(2R,0).

Έχοντας 2 εσωτερικά εφαπτόμενους κύκλους τότε L, K, B

συνευθειακά.

Άρα $\displaystyle LK=R-\frac{a}{3}, LA=a-R, KA=\frac{a}{3}.$ Εφαρμόζοντας το πυθαγόρειο στο $\triangle LKA$ προκύπτει $\displaystyle a=\frac{4R}{3}$ .

Εφαρμόζουμε νόμο συνημιτόνων στο $\triangle BLC$ :
$\displaystyle BC^{2}=2R^{2}-2R^{2}cos\hat L=2R^{2}-2R^{2}\frac{a-R}{R-\frac{a}{3}}=...=\frac{4}{5}R^{2}$

KARKAR · #3

Άρα $\displaystyle LK=R-\frac{a}{3}, LA=a-R, KA=\frac{a}{3}.$ Εφαρμόζοντας το πυθαγόρειο στο $\triangle LKA$ προκύπτει $\displaystyle a=\frac{4R}{3}$ .

Με αξιοποίηση της παραπάνω επεξεργασίας του Κώστα έχω : $\displaystyle cos2\theta=\frac{3}{5}$

Ας θυμηθούμε τον τύπο : $\displaystyle tan^{2}x=\frac{1-cos2x}{1+cos2x}$ , απ' όπου παίρνω :

$\displaystyle tan^{2}\theta =\frac{1-\frac{3}{5}}{1+\frac{3}{5}}=\frac{1}{4}\Rightarrow tan\theta =\frac{1}{2}$ , ( $\theta$ οξεία ) .

Σημείωση : $\displaystyle OA=\frac{4R}{3} , AC=\frac{2R}{3}$ , δηλαδή η

διχοτόμος της ορθής

Λόγος χορδών

Λόγος χορδών

Re: Λόγος χορδών

Re: Λόγος χορδών

Μέλη σε σύνδεση