Εφαπτομένες σε υπερβολή

#1

Να αποδείξετε οτι οι εφαπτομένες που φέρονται απο σημείο του κύκλου
$\displaystyle{\displaystyle C_1 : x^2 + y^2 = a^2 - \beta ^2 (a > \beta > 0) }$
προς την υπερβολή $\displaystyle{\displaystyle C_2 :\frac{{x^2 }} {{a^2 }} - \frac{{y^2 }} {{\beta ^2 }} = 1 }$ είναι κάθετες.

dement · #2

Καλημερα Χρηστο.

Για να ειναι μια ευθεια της μορφης y = cx + d

εφαπτομενη στην υπερβολη $\displaystyle \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ πρεπει και αρκει να πληρουται η συνθηκη a^2 c^2 - d^2 = b^2

(1) (αποδεικνυεται ευκολα με μηδενικη διακρινουσα τριωνυμου).

Παιρνουμε σημειο $\displaystyle (x, \sqrt{a^2 - b^2 - x^2})$ του ανω ημικυκλιου. Οι εφαπτομενες θα πρεπει να εχουν τη μορφη y = cx + d

. Αντικαθιστωντας στη σχεση (1) οπου $d = \sqrt{a^2 - b^2 - x^2} - cx$ βλεπουμε οτι το

πρεπει να ειναι ριζα της $a^2 c^2 - \left( \sqrt{a^2 - b^2 - x^2} - cx \right)^2 = b^2$ . Αυτο το τριωνυμο ως προς

εχει δευτεροβαθμιο συντελεστη a^2 - x^2

και σταθερο ορο -(a^2 - x^2)

. Κατα συνεπεια, για τις δυο ριζες του $c, c^{\prime}$ ισχυει $c c^{\prime} = -1$ οποτε οι ευθειες ειναι καθετες.

(Απο συμμετρια ισχυει και για το κατω ημικυκλιο).

Δημητρης Σκουτερης

#3

Γειά σας
Ισχύει το εξής γενικότερο αποτέλεσμα:
Ο γεωμετρικός τόπος των σημείων του επιπέδου από τα οποία άγονται δύο κάθετες εφαπτομένες μίας κωνικής είναι
α) κύκλος αν ο η κωνική είναι υπερβολή ή έλλειψη
β) η διευθετούσα της αν η κωνική είναι παραβολή
Το α) για την υπερβολή το έχει ουσιάστικά αποδείξει ο Δημητρης και η απόδειξη για την έλλειψη πάει όμοια
Το β) είναι μια πολύ γνωστή άσκηση
Ο κύκλος της περίπτωσης α) λέγεται ορθοπτικός της κωνικής (γενικά ισοπτικός κύκλος μίας καμπύλης είναι ο τόπος των σημείων από τα οποία οι αγόμενες εφαπτομένες σχηματίζουν σταθερή γωνία). Λόγω της β) ο κύκλος του α) λέγεται και διευθετών κύκλος της κωνικής.
Είναι ένα, στην γενικότητα του, πολύ ενδιαφέρον θέμα για το οποίο οι γεωμέτρες της παρέας μπορούν να μας πληροφορήσουν καλλίτερα. Μία απόδειξη με συνθετική Γεωμετρία της περίπτωσης για την έλλειψη μπορείτε να βρέιτε στην πολύ ενδιαφέρουσα μεταπτυχιακή εργασία του Δ. Μπουνάκη (σελίδα 175)
ΙΣΤΟΡΙΑ KAI ΜΕΛΕΤΗ ΜΕ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΜΕΣΑ ΤΩΝ ΚΩΝΙΚΩΝ ΤΟΜΩΝ
(Δϊνω ένα πιό ευρύ σύνδεσμο ώστε να δείτε και τις άλλες εργασίες, πολλές από δραστήρια μέλη του mathematica: http://web-server.math.uoc.gr:1080/erevna/diplomatikes/ )
που εκπονήθηκε στο τμήμα Μαθηματικών του Πανεπιστημίου Κρήτης (επιβλέπων: Καθηγητής Μιχάλης Λάμπρου). Στην ίδια εργασία μπορείτε να βρείτε πολλές κατασκευές που θα σας δώσουν ιδέες και θα σας επιτρέψουν να δουλέψετε ζητήματα κωνικών τομών με προγράμματα δυναμικής Γεωμετρίας.
Μαυρογιάννης

#4

dement έγραψε: Για να ειναι μια ευθεια της μορφης εφαπτομενη στην υπερβολη $\displaystyle \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ πρεπει και αρκει να πληρουται η συνθηκη (1) (αποδεικνυεται ευκολα με μηδενικη διακρινουσα τριωνυμου). Δημητρης Σκουτερης

Δεν είναι δύσκολη η απόδειξη που λέει ο Δημήτρης, είναι όμως μπελαλίδικη...
Δίνω παρακάτω μια προσέγγιση. Αν υπάρχει κάτι ταχύτερο κι ευκολότερο θα χαιρόμουν να το δω...

Ικανή και αναγκαία συνθήκη για να εφάπτονται η ευθεία (ε) y = λx+κ και η υπερβολή C : $\displaystyle\frac{{x^2 }}{{\alpha ^2 }} - \frac{{y^2 }}{{\beta ^2 }} = 1$
είναι : α²λ²-β² = κ², κ ≠ 0.

ΛΥΣΗ:

Τα κοινά σημεία ευθείας και υπερβολής, αν υπάρχουν, θα έχουν συντεταγμένες τις λύσεις του συστήματος : $\displaystyle\left\{ \begin{array}{l} \frac{{x^2 }}{{\alpha ^2 }} - \frac{{y^2 }}{{\beta ^2 }} = 1,\;\;(1) \\ y = \lambda x + \kappa ,\;\;\;\;\;(2) \\ \end{array} \right.$

Αντικαθιστούμε την τιμή του y από τη (2) στην (1).
Τότε η (1) γράφεται :

$\displaystyle\frac{{x^2 }}{{\alpha ^2 }} - \frac{{\left( {\lambda x + \kappa } \right)^2 }}{{\beta ^2 }} = 1\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\beta ^2 x^2 - \alpha ^2 (\lambda ^2 x^2 + 2\lambda \kappa x + \kappa ^2 ) = \alpha ^2 \beta ^2$
<=> $\displaystyle(\beta ^2 - \alpha ^2 \lambda ^2 )x^2 - 2\alpha ^2 \lambda \kappa x - \alpha ^2 (\kappa ^2 + \beta ^2 ) = 0$ (3).

Αν β² - α²λ² = 0 <=> λ = ± $\displaystyle\frac{\beta }{\alpha }$ , τότε η (3) γράφεται :

$\displaystyle - 2\alpha ^2 \lambda \kappa x - \alpha ^2 (\kappa ^2 + \beta ^2 ) = 0 \Leftrightarrow - \alpha ^2 (2\lambda \kappa x + \kappa ^2 + \beta ^2 ) = 0$
$\Leftrightarrow - \alpha ^2 (2\lambda \kappa x + \kappa ^2 + \beta ^2 ) = 0$

Είναι ασφαλώς λ ≠ 0 και α ≠ 0.

Τότε αν κ = 0 η εξίσωση είναι αδύνατη, οπότε το σύστημα δεν έχει λύση.
Πράγματι τότε (ε) : y = ± $\frac{\beta }{\alpha }$ x, δηλαδή η (ε) είναι ασύμπτωτη της υπερβολής.

Αν κ ≠ 0, τότε το σύστημα έχει μία λύση (όχι βέβαια διπλή, γιατί είναι πρώτου βαθμού) : Μ $\displaystyle\left( { - \frac{{\beta ^2 + \kappa ^2 }}{{2\kappa \lambda }},\frac{{\kappa ^2 - \beta ^2 }}{{2\kappa }}} \right)$ .

Αν β² - α²λ² ≠ 0, τότε για να εφάπτεται η (ε) στη C πρέπει το σύστημα τους να έχει διπλή ρίζα, δηλαδή η διακρίνουσα της (3) να είναι 0.

Τότε : Δ = 0 <=> 4α^4 λ²κ²+4α²(κ²+β²)(β²-α²λ²) = 0 <=> α²λ² - β² = κ².

Τότε οι συντεταγμένες του σημείου επαφής είναι η διπλή ρίζα της (3) : Μ $\displaystyle\left( { - \frac{{\alpha ^2 \lambda }}{\kappa }, - \frac{{\beta ^2 }}{\kappa }} \right)$ .

Γιώργος Ρίζος

Αν είναι δυσανάγνωστο το κείμενο, το δίνω συνημμένο σε acrobat.

Εφαπτομένες σε υπερβολή

Εφαπτομένες σε υπερβολή

Re: Εφαπτομένες σε υπερβολή

Re: Εφαπτομένες σε υπερβολή

Re: Εφαπτομένες σε υπερβολή

Μέλη σε σύνδεση