Γωνία διανυσμάτων

Γιώργος Απόκης · #1

Για τα μη μηδενικά διανύσματα $\vec{a},\vec{b}$ ισχύουν οι σχέσεις: $\displaystyle{\pi \rho o \beta _{\vec{b}} \vec{a}=3\vec{b}}$ και $\displaystyle{\pi \rho o \beta _{\vec{a}} \vec{b}=\frac{1}{4}\vec{a}}$ .

Nα υπολογίσετε τη γωνία των $\vec{a},\vec{b}$ .

parmenides51 · #2

εδώ

Γιώργος Απόκης · #3

Ευχαριστώ. Η κλασική λύση είναι αυτή που προτείνεται στην παραπομπή. Θα επιχειρήσω μια λίγο διαφορετική...

Έστω $\phi$ η ζητούμενη γωνία. Αφού οι συντελεστές $3,\frac{1}{4}$ είναι θετικοί, η γωνία είναι οξεία.

Θεωρώ $\overrightarrow{OA}=\vec{a},\overrightarrow{OB}=\vec{b}$ με αντίστοιχες προβολές $\overrightarrow{OK},\overrightarrow{OL}}$ . Tότε ισχύουν $\displaystyle{OL=3\cdot OB,OK=\frac{1}{4}OA}$ . (1)

Aπό την ομοιότητα των τριγώνων OKB,OAL

έχουμε $\displaystyle{\frac{OK}{OB}=\frac{OL}{OA}\Leftrightarrow OK\cdot OA=OB\cdot OL \overset{(1)}\Leftrightarrow \frac{1}{4}OA^2=3\cdot OB^2\Leftrightarrow OA=2\sqrt{3}\cdot OB}$ (2)

Eπομένως, $\displaystyle{\cos \phi=\frac{OL}{OA}\overset{(1),(2)}=\frac{3\cdot OB}{2\sqrt{3}\cdot OB}=\frac{\sqrt{3}}{2}}$ άρα $\phi=30^{o}.$

#4

Γιώργος Απόκης έγραψε:Για τα μη μηδενικά διανύσματα $\vec{a},\vec{b}$ ισχύουν οι σχέσεις: $\displaystyle{\pi \rho o \beta _{\vec{b}} \vec{a}=3\vec{b}}$ και $\displaystyle{\pi \rho o \beta _{\vec{a}} \vec{b}=\frac{1}{4}\vec{a}}$ .

Nα υπολογίσετε τη γωνία των $\vec{a},\vec{b}$ .

Μπορούμε και χωρίς τον τύπο:

$\pi \varrho o\beta _{\vec{\beta }}\vec{\alpha } = \frac{(\vec{\alpha }\cdot \vec{\beta })\vec{\beta }}{|\vec{\beta }|^2}$

που χρησιμοποιεί ο Αντώνης, και να πάρουμε την σχέση-κλειδί:

$|\vec{\alpha}|=2\sqrt{3}|\vec{\beta }|$

από την διπλή ισότητα:

$\vec{a}\vec{b}=\vec{a}\displaystyle{\pi \rho o \beta _{\vec{a}} \vec{b}}=\vec{b}\displaystyle{\pi \rho o \beta _{\vec{b}} \vec{a}}$

Γωνία διανυσμάτων

Γωνία διανυσμάτων

Re: Γωνία διανυσμάτων

Re: Γωνία διανυσμάτων

Re: Γωνία διανυσμάτων

Μέλη σε σύνδεση