Πού είναι το κέντρο ;

KARKAR · #1

Στο τετράγωνο OABC

, το

είναι το μέσο της πλευράς

. Βρείτε τις συντεταγμένες του κέντρου

του κύκλου που εφάπτεται των OA , OM

και

. ( Δεν υπόσχομαι όμορφο αποτέλεσμα ! )

vasilis.volos.13 · #2

Θεωρώντας ορθοκανονικό σύστημα αξόνων οι συντεταγμένες των σημείων A,B,C,M

θα είναι οι :

$\displaystyle A(a,0)\;,\; C(0,a)\;,\; B(a,a)\;,\; M\left(a,\frac{a}{2}\right)$

Η εξίσωση ευθείας της (OM)

είναι η $(\epsilon_1) : 2x-y=0$

εξίσωση ευθείας της (AC)

είναι η $(\epsilon_2): x-y-a=0$

Έστω K(x_0,y_0)

οι συντεταγμένες του κέντρου του κύκλου επειδή ο κύκλος εφάπτεται στον x'x

τότε θα έχει ακτίνα r=|y_0|=y_0

εφόσον

Επομένως ισχύουν τα εξής :

$\displaystyle \bigstar\;\;\;\; d(K,\epsilon_1)=y_0 \Leftrightarrow ...\;\;x_0=\frac{\sqrt{5}+1}{2}y_0$

$\displaystyle \bigstar\;\;\;\; d(K,\epsilon_2)=y_0 \Leftrightarrow ...\;\; (2+2\sqrt{5})y_0^2+2a(\sqrt{5}+1)y_0-a^2=0$

Η τελευταία με πολλές επιφυλάξεις δίνει δύο λύσεις από τις οποίες δεκτή είναι η $\displaystyle \;\;\; y_0=\frac{2-\sqrt{10}+\sqrt{2}}{2}a$

Οπότε θα έχουμε $\displaystyle K\left(\frac{2+\sqrt{5}-2\sqrt{2}}{2}a,\frac{2-\sqrt{10}+\sqrt{2}}{2}a \right)$

Φανης Θεοφανιδης · #3

Νομίζω ότι έχει γίνει λάθος στον καθορισμό των συντεταγμένων

του σημείου M και στην εξίσωση της ευθείας AC.

#4

KARKAR έγραψε:Στο τετράγωνο , το είναι το μέσο της πλευράς . Βρείτε τις συντεταγμένες του κέντρου

του κύκλου που εφάπτεται των και . ( Δεν υπόσχομαι όμορφο αποτέλεσμα ! )

: Που έιναι το κέντρο.png (12.77 KiB) Προβλήθηκε 952 φορές

Ας πούμε

την τομή των AC,OM

και

το σημείο επαφής του (K,r)

με την

.

Έστω

. Επειδή $\dfrac{{OS}}{{SM}} = \dfrac{{AS}}{{SC}} = \dfrac{{OA}}{{CM}} = 2$ θα είναι :

$OS = 2k\sqrt 5 ,SA = 4k\sqrt 2 \,$ και το ύψος από το

του τριγώνου SOA

θα είναι

.

Η ημιπερίμετρος του τριγώνου SOA

είναι $s = 3k + k\sqrt 5 + 2k\sqrt 2$ και το εμβαδόν του $E = 12{k^2}$ , οπότε $\boxed{r = \frac{E}{s} = (1 + \sqrt 2 + \sqrt 5 - \sqrt {10} )k}$ .
Ακόμα $\boxed{OZ = s - AS = (3 + \sqrt 5 - 2\sqrt 2 )k}$

Τα υπόλοιπα προφανή.

Φιλικά Νίκος

Φανης Θεοφανιδης · #5

Καλησπέρα Νίκο.

Είναι $M(\frac{\alpha }{2},\alpha )$

$OA:\psi =0$

$OM:2\chi -\psi =0$

$AC:\chi +\psi -\alpha =0$

Έστω $K(\chi _{0},\psi _{0})$

Έχουμε $d(K,OA)=d(K,AC) \Leftrightarrow \sqrt{2}\left|\psi _{0} \right|=\left|\chi _{0}+\psi _{0}-\alpha \right|$ (1)

$d(K,OA)=d(K,OM) \Leftrightarrow \sqrt{5}\left|\psi _{0} \right|=\left|2\chi _{0}-\psi _{0} \right|$ (2)

Το

ανήκει στο ίδιο ημιεπίπεδο με το

(αρνητικό) που ορίζει η

.
Άρα $\chi _{0}+\psi _{0}-\alpha \prec 0$
Κατόπιν τούτου από την (1)

και επειδή $\psi _{0}\succ 0$ έχουμε
$\sqrt{2}\psi _{0}=-\chi _{0}-\psi _{0}+\alpha$ (3)

Επίσης το

ανήκει στο ίδιο ημιεπίπεδο με το

(θετικό) που ορίζει η

.
Άρα $2\chi _{0}-\psi _{0}\succ 0$ .
Κατόπιν τούτου από την (2)

έχουμε
$\sqrt{5}\psi _{0}=2\chi _{0}-\psi _{0}$ (4)

Από τις σχέσεις (3)

και

προκύπτει ότι

$\chi _{0}=\frac{3+\sqrt{5}-2\sqrt{2}}{6}\alpha$

$\psi _{0}=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{5}+1-\sqrt{10}}{6}\alpha$ .

#6

KARKAR έγραψε:Στο τετράγωνο , το είναι το μέσο της πλευράς . Βρείτε τις συντεταγμένες του κέντρου

του κύκλου που εφάπτεται των και . ( Δεν υπόσχομαι όμορφο αποτέλεσμα ! )

Καλησπέρα σε όλους.

Μία με Τριγωνομετρία, χρησιμοποιώντας τη σχέση $\boxed{\varepsilon \varphi 2x = \frac{{2\varepsilon \varphi x}}{{1 - \varepsilon {\varphi ^2}x}}}$ (1)

: Πού είναι το κέντρο.png (10.66 KiB) Προβλήθηκε 863 φορές

$\displaystyle{\varepsilon \varphi \varphi = \frac{1}{2} = \sigma \varphi 2\omega \Leftrightarrow \varepsilon \varphi 2\omega = 2}$ και από την (1)

, $\displaystyle{\varepsilon \varphi \omega = \sqrt 2 - 1 \Leftrightarrow \frac{r}{{OH}} = \sqrt 2 - 1 \Leftrightarrow }$

$\boxed{OH = r\left( {\sqrt 2 + 1} \right)}$ (2)

. Πάλι από την (1)

, βρίσκω:

$\displaystyle{\varepsilon \varphi 22,{5^0} = \frac{{\sqrt 5 - 1}}{2} \Leftrightarrow \frac{r}{{HA}} = \frac{{\sqrt 5 - 1}}{2} \Leftrightarrow }$ $\boxed{HA = \frac{{r\left( {\sqrt 5 + 1} \right)}}{2}}$ (3)

$\displaystyle{OH + HA = a\mathop \Leftrightarrow \limits^{(2),(3)} r = \frac{{2a}}{{2\sqrt 2 + \sqrt 5 + 3}}}$ και με ρητοποίηση του παρονομαστή

$\boxed{r = \frac{{\left( {\sqrt 2 + \sqrt 5 - \sqrt {10} + 1} \right)a}}{6}}$ και από την (2)

, $\boxed{OH = \frac{{\left( {3 - 2\sqrt 2 + \sqrt 5 } \right)a}}{6}}$

Πού είναι το κέντρο ;

Πού είναι το κέντρο ;

Re: Πού είναι το κέντρο ;

Re: Πού είναι το κέντρο ;

Re: Πού είναι το κέντρο ;

Re: Πού είναι το κέντρο ;

Re: Πού είναι το κέντρο ;

Μέλη σε σύνδεση