Η παραβολή ... του μερακλή

[KARKAR]

Σημείο , κινείται επί ημικυκλίου διαμέτρου . Κύκλος κέντρου εφάπτεται

του ημικυκλίου στο , και της στο

1) Δεδομένου του , πώς θα εντοπίσουμε το ;

2) Να δειχθεί ότι ο γεωμετρικός τόπος του , είναι τμήμα παραβολής , της οποίας να βρεθεί μια εξίσωση .

[Mihalis_Lambrou]

Σημείο , κινείται επί ημικυκλίου διαμέτρου . Κύκλος κέντρου εφάπτεται

του ημικυκλίου στο , και της στο

1) Δεδομένου του , πώς θα εντοπίσουμε το ;

2) Να δειχθεί ότι ο γεωμετρικός τόπος του , είναι τμήμα παραβολής , της οποίας να βρεθεί μια εξίσωση .

Χαριτωμένη άσκηση.

1) Το Τ βρίσκεται πρώτον στην . Επίσης, φέρνουμε την εφαπτομένη του κύκλου στο η οποία έστω ότι τέμνει την στο . Επειδή , σημαίνει ότι το είναι στην διχοτόμο της . Άρα η τομή αυτής της διχοτόμου με την μας προσδιορίζει το και από εκεί το .

2)Φέρνουμε την εφαπτομένη στην κορυφή του ημικυκλίου. Έστω ότι η την τέμνει στο . Τότε
. Από αυτό συμπεραίνουμε ότι το είναι στην παραβολή με εστία και διευθετούσα την εφαπτομένη στην κορυφή του ημικυκλίου.

Μπορούμε να βρούμε την εξίσωση του γ.τ. ως προς διάφορα βολικά συστήματα αναφοράς. Θα κάνω με κορυφή το μέσον της κατακόρυφης ακτίνας και με θετικό ημιάξονα των προς τα κάτω:

Από τον ορισμό της παραβολής με εστία το και την παραπάνω διευθετούσα είναι (απλό) . Υψώνοντας στο τετράγωνο δίνει .

Φιλικά,

Μιχάλης

Edit: Έκανα μία δυο τυπογραφικές διορθώσεις. Π.χ. κάποια τα είχα γράψει ως .