Διανύσματα ΕΝΑ

Χρήστος Λαζαρίδης · #1

Μία εύκολη άσκηση στα διανύσματα.

Έστω το διάνυσμα $\displaystyle{\overrightarrow u = (4, - 3)}$ .
Να βρείτε διάνυσμα $\displaystyle{\overrightarrow v}$ τέτοιο ώστε $\displaystyle{\overrightarrow v //\overrightarrow u }$ , $\displaystyle{\left| {\overrightarrow v } \right| = 30}$
και το οποίο να σχηματίζει οξεία γωνία με το διάνυσμα $\displaystyle{\overrightarrow i}$ .

Φιλικά Χρήστος

#2

Έχουμε ότι ο συντελεστής διεύθυνσης του $\vec{u}$ είναι $\displaystyle{\lambda_{\vec{u}}=-\frac{3}{4}}$ .

Έστω $\vec{v}=(x,y)$ . Αφού θέλουμε $\vec{u}//\vec{v}$ ισχύει $x \neq 0$ και
$\displaystyle{\lambda_{\vec{u}}=\displaystyle{\lambda_{\vec{v}} \Leftrightarrow \frac{y}{x}=-\frac{3}{4} \Leftrightarrow y=-\frac{3x}{4}} (I)$ .

Συνεπώς: $\displaystyle{\vec{v}=\left(x, -\frac{3x}{4} \right )}$ και $\displaystyle{\left | \vec{v} \right | =\sqrt {x^2+ \left(-\frac{3x}{4} \right )^2}=\frac{5|x|}{4}}$ .

Θα πρέπει: $\displaystyle{\left | \vec{v} \right |=30 \Leftrightarrow |x|=24 \Leftrigharrow x = \pm 24}$ .

* Αν x=24

από την (Ι) βρίσκουμε ότι y=-18

, άρα $\vec{v}=(24,-18)$ .
Τότε:
$\displaystyle{\sigma \upsilon \nu \left(\vec{v},\vec{i} \right)=\frac{\vec{v} \cdot \vec{i}}{|\vec{v}|\cdot|\vec{v}|}=\frac{24}{30}>0}$ ,
οπότε η περίπτωση είναι δεκτή.
* Αν x=-24

από την (Ι) βρίσκουμε ότι y=18

, άρα $\vec{v}=(-24,18)$ .
Τότε:
$\displaystyle{\sigma \upsilon \nu \left(\vec{v},\vec{i} \right)=\frac{\vec{v} \cdot \vec{i}}{|\vec{v}|\cdot|\vec{v}|}=\frac{-24}{30}<0}$ ,
οπότε η περίπτωση απορρίπτεται.

2ος τρόπος για τον έλεγχο της οξείας γωνίας των διανυσμάτων $\vec{i},\vec{v}$ .

* Αν $\vec{v}=(24,-18)=\vec{OA}$ , όπου A(24,-18)

σημείο που ανήκει στο 4ο τεταρτημόριο, άρα η γωνία που σχηματίζει με το $\vec{i}$ είναι οξεία, άρα η περίπτωση δεκτή.
* Αν $\vec{v}=(-24,18)=\vec{OB}$ , όπου B(-24,18)

σημείο που ανήκει στο 2ο τεταρτημόριο, άρα η γωνία που σχηματίζει με το $\vec{i}$ είναι αμβλεία, άρα η περίπτωση απορρίπτεται.

mathxl · #3

Λίγο διαφορετικά για τον προσδιορισμό του διανύσματος

$\displaystyle{\vec v//\vec u \Leftrightarrow \vec v = \lambda \vec u \Rightarrow \left| {\vec v} \right| = \left| {\lambda \vec u} \right| \Leftrightarrow 30 = 5\left| \lambda \right| \Leftrightarrow \lambda = 6 \vee \lambda = - 6}$
- Αν $\displaystyle{\lambda = 6}$ τότε $\displaystyle{\vec v = 6\left( {4, - 3} \right) = \left( {24, - 18} \right)}$ δεκτό διότι σχηματίζει οξεία γωνία με το $\displaystyle{{\vec i}}$ (βρίσκεται στο 4ο τεταρτημόριο)

- Αν $\displaystyle{\lambda = - 6}$ τότε $\displaystyle{\vec v = - 6\left( {4, - 3} \right) = \left( { - 24,18} \right)}$ απορρίπτεται διότι βρίσκεται στο 2ο τεταρτημόριο και σχηματίζει αμβλεία γωνία με το $\displaystyle{{\vec i}}$

Χρήστος Λαζαρίδης · #4

Λευτέρη Βασίλη
Ευχαριστώ για τις λύσεις σας.

Φιλικά Χρήστος

*Έχει μειωθεί ο χρόνος απαντήσεων του Βασίλη ή είναι ιδέα μου

Διανύσματα ΕΝΑ

Διανύσματα ΕΝΑ

Re: Διανύσματα ΕΝΑ

Re: Διανύσματα ΕΝΑ

Re: Διανύσματα ΕΝΑ

Μέλη σε σύνδεση