Έλλειψη και εμβαδόν τριγώνου (ΔΕΛΤΙΟ 11)

#1

Αν Ε , Ε' οι εστίες της έλλειψης: $\displaystyle{\displaystyle \frac{{x^2 }} {9} + \frac{{y^2 }} {4} = 1 }$ και Ρ σημείο αυτής, τέτοιο ώστε:

$\displaystyle{\displaystyle \frac{{PE}} {{PE^{\prime} }} }$ =2, τότε να υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου ΡΕΕ'.

ΧΡΗΣΤΟΣ ΚΑΡΔΑΣΗΣ · #2

Καλησπέρα .
Βρίσκουμε ΡΕ=4 , ΡΕ'=2 , ΕΕ'= $\displaystyle{\displaystyle 2\sqrt 5 }$ και από τον τύπο του Ήρωνα αν δεν έχω λάθος στις πράξεις προκύπτει
Ε = 4

Χρήστος Λαζαρίδης · #3

Συμπληρώνοντας τη λύση του Χρήστου.
Το τρίγωνο είναι ορθογώνιο, διότι ισχύει το αντίστροφο του Πυθαγορείου.
Αντί του τύπου του Ηρωνος, μπορούμε να πούμε ότι το εμβαδόν ισούται με $\frac{4.2}{2}=4$
Φιλικά Χρήστος

#4

Δίνω παρακάτω αναλυτικά τη λύση του Χρήστου Καρδάση και στη συνέχεια δύο παραλλαγές της λύσης με μία προέκταση στην εκφώνηση (ζητώ να προσδιοριστεί το σημείο Ρ).
Πιστεύω ότι έτσι γίνεται πιο πλήρες θέμα κατάλληλο για τη διδασκαλία Κωνικών Τομών στη Β΄ Λυκείου. H γνώμη μου εξακολουθεί να είναι ότι η ύλη της Αναλυτικής Γεωμετρία έχει υποστεί υποβιβασμό (να μην πω ακρωτηριασμό...). Οι συνέπειες θα φανούν (ή ήδη φαίνονται;) στα πανεπιστημιακά αμφιθέατρα.

: Elipse 02.png (6.29 KiB) Προβλήθηκε 1185 φορές

Είναι: α = 3, β = 2 => γ = $\displaystyle \sqrt 5$ , οπότε $\displaystyle E\left( {\sqrt 5 ,\;0} \right),\;\;E^\prime\left( { - \sqrt 5 ,\;0} \right)$

Από τον ορισμό της έλλειψης (ΡΕ) + (ΡΕ΄) = 6, οπότε:
$\displaystyle \frac{{\left( {{\rm P}{\rm E}} \right)}}{{\left( {{\rm P}{\rm E}^\prime} \right)}} = 2\;\;\; \Rightarrow \;\;\;\frac{{\left( {{\rm P}{\rm E}} \right)}}{{\left( {{\rm P}{\rm E}^\prime} \right) + \left( {{\rm P}{\rm E}} \right)}} = \frac{2}{3}\;\; \Rightarrow \;\;\frac{{\left( {{\rm P}{\rm E}} \right)}}{6} = \frac{2}{3}$ άρα (ΡΕ) = 4 και (ΡΕ΄) = 2

Η ημπερίμετρος του ΡΕΕ΄ είναι τ = $\displaystyle 3 + \sqrt 5$ ,
οπότε το εμβαδόν του είναι:
$\displaystyle{\rm E} = \sqrt {\tau \left( {\tau - {\rm P}{\rm E}} \right)\left( {\tau - {\rm P}{\rm E}^\prime} \right)\left( {\tau - {\rm E}{\rm E}^\prime} \right)} = \sqrt {\left( {3 + \sqrt 5 } \right)\left( {\sqrt 5 - 1} \right)\left( {1 + \sqrt 5 } \right)\left( {3 - \sqrt 5 } \right)} =$

$\displaystyle = \color{blue}\sqrt {\left( {3^2 - \left( {\sqrt 5 } \right)^2 }\right)\left( {\left( {\sqrt 5 } \right)^2 - 1^2 } \right)} = \sqrt {16} = 4$

ΑΛΛΗ ΛΥΣΗ:
..... (ΡΕ) = 4 και (ΡΕ΄) = 2
Έστω υ το ύψος ΡΚ.
Τότε: υ² = 4 - Ε΄Κ² και υ² = 16 - ΕΚ² . Έστω ΕΚ΄ = x, οπότε:
$\displaystyle 4 - x^2 = 16 - \left( {2\sqrt 5 - x} \right)^2 \; \Leftrightarrow \;\;...\; \Leftrightarrow \;\;x = \frac{2}{{\sqrt 5 }}$
άρα $\displaystyle \upsilon = \sqrt {4 - \frac{4}{5}} = \sqrt {\frac{{16}}{5}} = \frac{4}{{\sqrt 5 }}$ ,
οπότε το εμβαδόν είναι: $\displaystyle \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{{\sqrt 5 }} \cdot 2\sqrt 5 = 4$ .

ΠΡΟΕΚΤΑΣΗ:
... Προσδιορίστε το σημείο Ρ και υπολογίστε το εμβαδόν του ΡΕΕ΄.

Έστω (x, y) οι συντεταγμένες του σημείου Ρ.
Τότε $\displaystyle \left( {{\rm P}{\rm E}^\prime} \right) = 2\;\; \Leftrightarrow \;\;\left( {x + \sqrt 5 } \right)^2 + y^2 = 4$ και $\displaystyle \frac{{x^2 }}{9} + \frac{{y^2 }}{4} = 1$

Οπότε:
$\displaystyle \frac{{\left( {x + \sqrt 5 } \right)^2 }}{4} + \frac{{y^2 }}{4} = 1 \Rightarrow \frac{{\left( {x + \sqrt 5 } \right)^2 }}{4} - \frac{{x^2 }}{9} = 0$
$\displaystyle\Leftrightarrow \left( {\frac{{x + \sqrt 5 }}{2} - \frac{x}{3}} \right)\left( {\frac{{x + \sqrt 5 }}{2} + \frac{x}{3}} \right) = 0$

από όπου βρίσκουμε $\displaystyle x = - 3\sqrt 5$
(απορρίπτεται αφού x < -3) ή $\displaystyle x = - \frac{3}{{\sqrt 5 }}$ ,
οπότε $\displaystyle y = \pm \frac{4}{{\sqrt 5 }}$ . Άρα $\displaystyle {\rm P}\left( { - \frac{3}{{\sqrt 5 }},\;\frac{4}{{\sqrt 5 }}} \right),\;\;{\rm P}^\prime\left( { - \frac{3}{{\sqrt 5 }}, - \frac{4}{{\sqrt 5 }}} \right)$ .

Τότε το ύψος ΡΚ είναι $\displaystyle \frac{4}{{\sqrt 5 }}$ , άρα το εμβαδόν είναι: $\displaystyle \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{{\sqrt 5 }} \cdot 2\sqrt 5 = 4$ .

Γιώργος Ρίζος

edit: Διόρθωσα ένα "μείον" σε μία ρίζα. Η αλλαγή φαίνεται με ΜΠΛΕ ΧΡΩΜΑ, ευχαριστούμε τον Γρηγόρη για τις δυνατότητες χρωματισμού!

#5

Nα ευχαριστήσω θερμότατα για τις λύσεις σας!

Έλλειψη και εμβαδόν τριγώνου (ΔΕΛΤΙΟ 11)

Έλλειψη και εμβαδόν τριγώνου (ΔΕΛΤΙΟ 11)

Re: Έλλειψη και εμβαδόν τριγώνου

Re: Έλλειψη και εμβαδόν τριγώνου

Re: Έλλειψη και εμβαδόν τριγώνου

Re: Έλλειψη και εμβαδόν τριγώνου

Μέλη σε σύνδεση