Ορθόκεντρο και διανύσματα

pito · #1

Σε τρίγωνο ABG

είναι $\vec{AB}=(2,6), \vec{AG}=(3,8), \vec{BG}=(1,2)$ . Αν

το ορθόκεντρο του τριγώνου , να βρεθεί το διάνυσμα $\vec{AH}$ .

S.E.Louridas · #2

Ας μου επιτραπεί μία άποψη σε hide:

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

S.E.Louridas

S.E.Louridas · #3

Αν λοιπόν θεωρήσουμε:

$\begin{array}{*{20}c} {B = \left( {0,0} \right) \Rightarrow G = \left( {1,2} \right)\;\kappa \alpha \iota \;A = \left( { - 2, - 6} \right),\;o\pi \dot o\tau \varepsilon \;\dot \varepsilon \chi o\upsilon \mu \varepsilon :} \\ {\left\{ {\begin{array}{*{20}c} {\left| {\overrightarrow {OB} } \right| = \left| {\overrightarrow {OG} } \right|} \\ {\left| {\overrightarrow {OB} } \right| = \left| {\overrightarrow {OA} } \right|} \\ \end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}c} {2x + 4y = 5} \\ {x + 3y = - 9} \\ \end{array} \Rightarrow } \right.O = \left( { - \frac{{41}} {2},\frac{{23}} {2}} \right),} \right.} \\ \end{array}$
όταν

είναι το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου του ABG.

Από την σχέση τώρα
$\overrightarrow {AH} = \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OG} ,$ παίρνουμε το $\overrightarrow {AH} .$

(*) Από μεθοδολογική άποψη με ενδιάφερε να «περάσω» την ικανή και αναγκαία συνθήκη που αναφέρω στην απόκρυψη (αποδεικνύεται εύκολα και γρήγορα) και βέβαια την κατάλληλη επιλογή συστήματος αξόνων.

S.E.Louridas

pito · #4

Σας ευχαριστώ θερμά.
Μια απόδειξη για την ικανή και αναγκαία συνθήκη για το ορθόκεντρο( ελπίζω όχι λανθασμένη):
Αν

το ορθόκεντρο του τριγώνου ABG

από τον κύκλο του Euler είναι AH=2OM

, όπου

το περίκεντρο και το μέσο του

αντίστοιχα. Έτσι αφού και τα $\vec{AH},\vec{OM}$ είναι ομόρροπα είναι $\vec{AH}=2\vec{OM}\Rightarrow \vec{OH}-\vec{OA}=2(\vec{AM}-\vec{AO})\Rightarrow \vec{OH}-\vec{OA}=2\frac{\vec{AB}+\vec{AG}}{2}-2\vec{AO}\Rightarrow ...\Rightarrow \vec{OH}=\vec{OA}+\vec{OB}+\vec{OG}$
Αν τώρα $\vec{AH}=\vec{OB}+\vec{OG}\Rightarrow \vec{AH}=2\vec{OM}$ , όπου

το μέσο της

,άρα το

είναι το ορθόκεντρο του ABG

pito · #5

Συγνώμη για το λάθος της latex αρχικά για το ευθύ εννοώ ότι $\vec{AH}=2\vec{OM}$

pito · #6

Και στο αντίστροφο τελικά το

είναι το ορθόκεντρο!

S.E.Louridas · #7

Πολύ όμορφα, Αριστη συνάδελφε Pito. Αυτό είναι και το ζητούμενο, οι Μαθηματικοί διάλογοι από τους οποίους όλοι μας βγαίνουμε πιό σοφοί.

S.E.Louridas

#8

pito έγραψε:Σε τρίγωνο είναι $\vec{AB}=(2,6), \vec{AC}=(3,8), \vec{BC}=(1,2)$ . Αν το ορθόκεντρο του τριγώνου , να βρεθεί το διάνυσμα $\vec{AH}$ .

λίγο διαφορετικά,χωρίς τον κύκλο Euler
-------------------------------------------------------
έστω AD,BE,CZ

τα ύψη του τριγώου.

$\displaystyle{\vec{BA}\cdot \vec{BC}=\vec{BC}\cdot \vec{BD}\stackrel{\vec{BD}=x\vec{BC}}\Longrightarrow \dots\Rightarrow x=-\frac{14}{5},~~ \vec{BD}=(-\frac{14}{5},-\frac{28}{5})}$

$\displaystyle{\vec{AD}=\vec{AB}+\vec{BD}\Rightarrow \vec{AD}=(-\frac{4}{5},\frac{2}{5})}$

$\displaystyle{\vec{AH}\cdot \vec{AB}=\vec{AB}\cdot \vec{AC}\stackrel{\vec{AH}=m\vec{AD}}\Longrightarrow \dots\Rightarrow m=\frac{135}{2}}$

$\displaystyle{\vec{AH}=m\vec{AD}\Rightarrow \vec{AH}=(-54,27)}$

S.E.Louridas · #9

Η ικανή και αναγκαία συνθήκη ώστε το

να είναι ορθόκεντρο τριγώνου ABC,

πού ήδη αναφέρθηκε και που είναι σημαντική με πολλές εφαρμογές.
Αν

είναι το ορθόκεντρο έχουμε:
$\left\{{\begin{array}{*{20}c} {\overrightarrow {HA} = \ell \overrightarrow { \cdot OM} } \\ {\overrightarrow {HB} = m \cdot \overrightarrow {OP} } \\ \end{array} } \right. \Rightarrow 2\overrightarrow {MP} = \overrightarrow {BA} = \ell \overrightarrow { \cdot OM} - m \cdot \overrightarrow {OP} \Rightarrow \left( {\ell + 2} \right)\overrightarrow { \cdot OM} = \left( {m + 2} \right)\overrightarrow { \cdot OM} \Rightarrow \ell = m = - 2.$

Άρα παίρνουμε: $\overrightarrow {AH} = 2\overrightarrow {OM} \Rightarrow \overrightarrow {OH} = \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} .$

Αντίστροφα:
$\overrightarrow {OH} = \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} \Rightarrow \overrightarrow {AH} = \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} \Rightarrow \overrightarrow {AH} \cdot \overrightarrow {BC} = \left( {\overrightarrow {OC} - \overrightarrow {OB} } \right)\left( {\overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OB} } \right) = R^2 - R^2 = 0.$

S.E.Louridas

Ορθόκεντρο και διανύσματα

Ορθόκεντρο και διανύσματα

Re: Ορθόκεντρο και διανύσματα

Re: Ορθόκεντρο και διανύσματα

Re: Ορθόκεντρο και διανύσματα

Re: Ορθόκεντρο και διανύσματα

Re: Ορθόκεντρο και διανύσματα

Re: Ορθόκεντρο και διανύσματα

Re: Ορθόκεντρο και διανύσματα

Re: Ορθόκεντρο και διανύσματα

Μέλη σε σύνδεση