Kύκλος και παραβολή

Γιώργος Απόκης · #1

Δίνεται ο κύκλος C_1:x^2+y^2=r^2

και η παραβολή C_2:y^2=2px

που τέμνονται σε σημεία με τετμημένη

.

Αν ο κύκλος διέρχεται από την εστία της παραβολής, να βρεθούν οι εξισώσεις των C_1,~C_2.

pito · #2

Μάλλον έχω κάνει λάθος πράξεις αλλά τη δημοσιεύω για τη μέθοδο:

Αφού ο κύκλος περνά από το $E(\frac{\rho }{2},0)\Rightarrow \frac{\rho ^{2}}{4}=r^{2}\Rightarrow \rho ^{2}=4r^{2}$ (1)

Αφού οι 2 κωνικές τέμνονται στο σημείο με τετμημένη 1, δηλαδή στο $A(1,y_{o})\Rightarrow y_{o}^{2}=r^{2}-1$ (2) ( από τον κύκλο) και
$y_{o}^{2}=2\rho$ (3) ( από την παραβολή)

Λύνοντας το σύστημα των (1),(2),(3) είναι $\rho ^{2}-8\rho -4=0\Rightarrow \rho _{1}=4+2\sqrt{5}$ ( η λύση $\rho =4-2\sqrt{5}$ απορρίπτεται γιατί τότε $y_{o}^{2}\prec 0$ )

άρα είναι $C_{1}:x^{2}+y^{2}=(9+4\sqrt{5}) C_{2}: y^{2}=(8+4\sqrt{5})x$

Kύκλος και παραβολή

Kύκλος και παραβολή

Re: Kύκλος και παραβολή

Μέλη σε σύνδεση