Εφαρμογή Εσωτερικού Γινομένου

Χρήστος Λαζαρίδης · #1

Η παρακάτω εφαρμογή υπάρχει στο βιβλίο των Μαθηματικών κατεύθυνσης Β΄Λυκείου.

ΕΦΑΡΜΟΓΗ

Αν $\displaystyle{\vec{a},\vec{b}}$ , είναι δύο διανύσματα του επιπέδου, τότε ισχύει: $\displaystyle{\left| \vec{a}\vec{b}\right|\leq \left|\vec{a} \right|\left|\vec{b} \right|}$
Η ισότητα ισχύει, όταν, $\displaystyle{\vec{a},\vec{b}}$ είναι συγραμμικά.

'Ασκηση

β) Να υπολογίσετε τη μέγιστη τιμή της παράστασης, $\displaystyle{y=\sqrt{x+5}+\sqrt{13-x}}$

β) Να λύσετε την εξίσωση $\displaystyle{x\sqrt{x+1}+\sqrt{3-x}=2\sqrt{x^{2}+1}}$

γ) Να αποδείξετε ότι: $\displaystyle{\eta \mu x \eta \mu y\eta \mu \omega +\sigma \upsilon \nu x\sigma \upsilon \nu y\sigma \upsilon \nu \omega \leq 1}$

Φιλικά Χρήστος

#2

Αν τα διανύσματα $\displaystyle{\vec{a},\vec{b}}$ , τα θεωρήσω ως προς ένα ορθοκανονικό σύστημα αξόνων $\displaystyle{\hat{XOY}}$ τότε:
$\displaystyle \vec{a}=\left(x_1,y_1 \right), \ \ \vec{b}=\left(x_2,y_2 \right)$
και η ανισότητα $\displaystyle \left|\vec{a}\vec{b} \right|\leq \left|a \right|\left|b \right|$
γίνεται:
$\displaystyle \left|x_1x_2+y_1y_2 \right|\leq \sqrt{x_1^2+y_1^2}\sqrt{x_2^2+y_2^2} \ \ (1)$
ή ακόμα:
$\displaystyle -\sqrt{x_1^2+y_1^2}\sqrt{x_2^2+y_2^2} \leq x_1x_2+y_1y_2\leq \sqrt{x_1^2+y_1^2}\sqrt{x_2^2+y_2^2} \ \ (2)$
Η ισότητα στην (1) ισχύει όταν τα δύο διανύσματα είναι συγγραμμικά και στη (2) η δεξιά όταν τα διανύσματα είναι ομόρροπα κι η αριστερή όταν είναι αντίρροπα.

Άσκηση α)
Θεωρώ τα διανύσματα:
$\displaystyle \vec{a}=\left(\sqrt{x+5},\sqrt{13-x} \right),\ \ \vec{b}=\left(1,1 \right)$
όπου: $\displaystyle -5\leq x\leq 13$
Σύμφωνα με την ανισότητα (1) για τα διανύσματα αυτά θα είναι:
$\displaystyle \left|\sqrt{x+5}\cdot1+\sqrt{13-x}\cdot1 \right|\leq \sqrt{(\sqrt{x+5})^2+(\sqrt{13-x})^2}\sqrt{1^2+1^2}\Rightarrow \\\Rightarrow \left|\sqrt{x+5} +\sqrt{13-x}\right|\leq \sqrt{18}\sqrt{2}\Rightarrow \\\Rightarrow \left|y \right|\leq 6\Rightarrow y\leq 6\Rightarrow y_{max}=6$
Η τιμή αυτή λαμβάνεται όταν τα δύο διανύσματα γίνουν ομόρροπα.
Δηλαδή:
$\displaystyle \frac{\sqrt{x+5}}{\sqrt{13-x}}=\frac{1}{1}\Leftrightarrow x=4$

Άσκηση β)
Κατ' αρχήν πρέπει: $\displaystyle -1\leq x\leq 3$
Θεωρούμε πάλι τα διανύσματα:
$\displaystyle \vec{a}=\left(x,1 \right), \ \ \vec{b}=\left(\sqrt{x+1},\sqrt{3-x} \right)$
όπου:
$\displaystyle -1\leq x\leq 3$
Τότε η σχέση (2) δίνει:
$\displaystyle \left|x\cdot\sqrt{x+1}+1\cdot\sqrt{3-x} \right|\leq \sqrt{x^2+1}\sqrt{\left(\sqrt{x+1} \right)^2+\left(\sqrt{3-x} \right)^2}\Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow \left|x\sqrt{x+1}+\sqrt{3-x} \right|\leq 2\sqrt{x^2+1} \ \ (3)$
Η (3) για να ισχύσει ως ισότητα θα πρέπει σύμφωνα με την (1) τα διανύσματα να γίνουν συγγραμμικά.
Δηλαδή:
$\displaystyle \frac{x}{1}=\frac{\sqrt{x+1}}{\sqrt{3-x}}\Leftrightarrow x^2(3-x)=x+1\Leftrightarrow x^3-3x^2+x+1=0 \ \ (4)$
Η (4) έχει προφανή λύση την $\displaystyle{ x_1=1}$ και με δεδομένο αυτό βρίσκονται κι οι άλλες:
$\displaystyle{x_2=1-\sqrt{2}, \ \ x_3=1+\sqrt{2}}$

Κώστας Δόρτσιος

#3

Και οι τρεις λύνονται (και) με τη χρήση της ανισότητας Cauchy-Schwarz.

Την 2η την είδαμε εδώ.

Για τις άλλες δύο δίνω εναλλακτικές λύσεις:

1)

Είναι $\displaystyle{(a-b)^2\geq 0\Rightarrow (a+b)^2\leq 2(a^2+b^2).}$ Η ισότητα ισχύει φανερά, μόνο όταν $\displaystyle{a=b.}$

Άρα $\displaystyle{y^2=(\sqrt{x+5}+\sqrt{13-x})^2\leq 2(\sqrt{x+5}^2+\sqrt{13-x}^2)=2\cdot 18=36.}$

Άρα $\displaystyle{y_{\max}=6,}$ όταν $\displaystyle{x+5=13-x \Leftrightarrow x=4.}$

3)

Είναι $\displaystyle{\sin x\sin y\sin \omega +\cos x\cos y \cos \omega \leq \sin x\sin y+\cos x\cos y=\cos (x-y)\leq 1. }$

pito · #4

Μιας και απαντήθηκαν τα 2 πρώτα, για το (3) πιο αναλυτικά:

Έστω τα διανύσματα $\vec{a}=(\eta \mu \chi \eta \mu y,\sigma \upsilon \nu \chi \sigma \upsilon \nu y), \vec{b}=(\eta \mu \omega ,\sigma \upsilon \nu \omega ), |\vec{a}|=\sqrt{\eta \mu ^{2}\chi \eta \mu ^{2}y+\sigma \upsilon \nu ^{2}\chi \sigma \upsilon \nu ^{2}y}$ ,

όμως
$\sqrt{\eta \mu ^{2}\chi (1-\sigma \upsilon \nu ^{2}y)+\sigma \upsilon \nu ^{2}x(1-\eta \mu ^{2}y)}=sqrt{1-(\eta \mu ^{2}x\sigma \upsilon \nu ^{2}y+\sigma \upsilon \nu ^{2}\chi \eta \mu ^{2}y)}\leq 1$

και $|\vec{b}|=\sqrt{\eta \mu ^{2}\omega +\sigma \upsilon \nu ^{2}\omega }=1$ ,
και $|\vec{a}\vec{b}|=|\eta \mu \chi \eta \mu y\eta \mu \omega +\sigma \upsilon \nu \chi \sigma \upsilon \nu y\sigma \upsilon \nu \omega |$
άρα $|\eta \mu \chi \eta \mu y\eta \mu \omega +\sigma \upsilon \nu \chi \sigma \upsilon \nu y\sigma \upsilon \nu \omega |\leq 1$

Εφαρμογή Εσωτερικού Γινομένου

Εφαρμογή Εσωτερικού Γινομένου

Re: Εφαρμογή Εσωτερικού Γινομένου

Re: Εφαρμογή Εσωτερικού Γινομένου

Re: Εφαρμογή Εσωτερικού Γινομένου

Μέλη σε σύνδεση