Σχετική θέση κύκλων

Γιώργος Απόκης · #1

Να βρεθεί η σχετική θέση των κύκλων C_1:x^2+y^2-2ax+c^2=0,~C_2:x^2+y^2-2by+c^2=0

αν ισχύει η σχέση $\displaystyle{\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}=\frac{1}{c^2}}$ .

hlkampel · #2

Γιώργος Απόκης έγραψε:Να βρεθεί η σχετική θέση των κύκλων αν ισχύει η σχέση $\displaystyle{\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}=\frac{1}{c^2}}$ .

Είναι: $\frac{1}{{{\alpha ^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}} = \frac{1}{{{c^2}}}\mathop \Leftrightarrow \limits^{\alpha \cdot b \cdot c \ne 0}$

$\displaystyle{{c^2}{\alpha ^2} + {c^2}{b^2} = {\alpha ^2}{b^2} \Rightarrow }$

$\displaystyle{{c^2}{\alpha ^2} + {c^2}{b^2} - {\alpha ^2}{b^2} = 0}$ (1)

${C_1}:\,{x^2} + {y^2} - 2\alpha x + {c^2} = 0 \Leftrightarrow$

$\,{x^2} - 2\alpha x + {\alpha ^2} + {y^2} + {c^2} - {\alpha ^2} = 0 \Leftrightarrow$

${\left( {x - \alpha } \right)^2} + {y^2} = {\alpha ^2} - {c^2}$

Οπότε ο ${C_1}$ έχει κέντρο το σημείο $K\left( {\alpha ,0} \right)$ και ακτίνα ${\rho _1} = \sqrt {{\alpha ^2} - {c^2}}$

${C_2}:\,{x^2} + {y^2} - 2by + {c^2} = 0 \Leftrightarrow$

${x^2} + {y^2} - 2by + {b^2} + {c^2} - {b^2} = 0 \Leftrightarrow$

${x^2} + {\left( {y - b} \right)^2} = {b^2} - {c^2}$

Οπότε ο ${C_2}$ έχει κέντρο το σημείο $\Lambda \left( {0,b} \right)$ και ακτίνα ${\rho _2} = \sqrt {{b^2} - {c^2}}$

Η διάκεντρος ${\rm K}\Lambda$ έχει μήκος:

$\left( {{\rm K}\Lambda } \right) = \sqrt {{\alpha ^2} + {b^2}} \Rightarrow {\left( {{\rm K}\Lambda } \right)^2} = {\alpha ^2} + {b^2}$ (2)

${\rho _1} + {\rho _2} = \sqrt {{\alpha ^2} - {c^2}} + \sqrt {{b^2} - {c^2}} \Rightarrow$

${\left( {{\rho _1} + {\rho _2}} \right)^2} = {\alpha ^2} - {c^2} + {b^2} - {c^2} + 2\sqrt {\left( {{\alpha ^2} - {c^2}} \right) \cdot \left( {{b^2} - {c^2}} \right)} \Rightarrow$

${\left( {{\rho _1} + {\rho _2}} \right)^2} = {\alpha ^2} + {b^2} - 2{c^2} + 2\sqrt {{\alpha ^2}{b^2} - {\alpha ^2}{c^2} - {c^2}{b^2} + {c^4}} \mathop \Rightarrow \limits^{(1),(2)}$

${\left( {{\rho _1} + {\rho _2}} \right)^2} = {\left( {{\rm K}\Lambda } \right)^2} \Rightarrow$

$\displaystyle{{\rho _1} + {\rho _2} = {\rm K}\Lambda }$

Άρα οι κύκλοι εφάπτονται εξωτερικά.

(*) Επειδή οι ${C_1},\;{C_2}$ παριστάνουν κύκλους θα είναι ${\alpha ^2} - {c^2} > 0$ και ${b^2} - {c^2} > 0$

#3

Μια λύση με τη βοήθεια της Γεωμετρίας

Αν υποθέσουμε ότι $\displaystyle{a,b,c>0}$ , τότε από τη σχέση $\displaystyle{\frac{1}{{{a}^{2}}}+\frac{1}{{{b}^{2}}}=\frac{1}{{{c}^{2}}}}$ έχουμε ότι τα $\displaystyle{a,b}$ είναι οι κάθετες πλευρές ενός ορθογωνίου τριγώνου και το $\displaystyle{c}$ είναι το ύψος του
«Κλέβοντας» από τη λύση του Ηλία τα κέντρα και τις ακτίνες διαμορφώνουμε το συνημμένο σχήμα απ΄όπου είναι φανερό ότι οι κύκλοι εφάπτονται εξωτερικά .

Γιώργος Απόκης · #4

Σχετική θέση κύκλων

Σχετική θέση κύκλων

Re: Σχετική θέση κύκλων

Re: Σχετική θέση κύκλων

Re: Σχετική θέση κύκλων

Μέλη σε σύνδεση