άσκηση στα διανύσματα

stelmarg · #1

Καλησπέρα παιδιά!
Αν σ'ένα τρίγωνο ABC

ισχύει:

Να αποδειχθεί ότι
Οι διάμεσοι

και

του τριγώνου ABC

τέμνονται κάθετα

#2

stelmarg έγραψε:Καλησπέρα παιδιά!
Αν σ'ένα τρίγωνο ισχύει:

Να αποδειχθεί ότι
Οι διάμεσοι και του τριγώνου
τέμνονται κάθετα

Αν οι διάμεσοι τέμνονται στο

τότε, από τον τύπο για το μήκος των διαμέσων, έχουμε

$\displaystyle BG^2 + CG^2 = \left(\frac {2}{3} BD \right)^2+ \left(\frac {2}{3} CE \right)^2= \frac {4}{9} m_b^2 + \frac {4}{9} m_c^2 =$

$\displaystyle = \frac {2c^2+2a^2-b^2}{9} + \frac {2b^2+2a^2-c^2}{9}= \frac {(b^2+ c^2) + 4a^2}{9}$

$\displaystyle =\frac {5a^2 + 4a^2}{9} = a^2=BC^2$ ,

άρα κάθετα από το αντίστροφο του Πυθαγορείου.

Φιλικά,

Μιχάλης Λάμπρου

pito · #3

Καλησπέρα είναι $|\vec{BC}|^{2}=|\vec{BA}+\vec{AC}|^{2}=|\vec{BA}|^{2}+|\vec{AC}|^{2}-2\vec{AB}\vec{AC}\Rightarrow 5|\vec{BC}|^{2}-2\vec{AB}\vec{AC}=|\vec{BC}|^{2}\Rightarrow \vec{AB}\vec{AC}=2|\vec{BC}|^{2}$

Αρκεί να δείξω ότι $\vec{BD}\vec{CE}=0$

Είναι $\vec{BD}\vec{CE}=\frac{(\vec{BA}+\vec{BC})(\vec{CA}+\vec{CB})}{4}=\frac{(2\vec{BA}+\vec{AC})(2\vec{CA}+\vec{AB})}{4}=\frac{5\vec{AB}\vec{AC}-2(|\vec{BA}|^{2}+|\vec{AC}|^{2})}{4}=\frac{5\vec{AB}\vec{AC}-10|\vec{BC}|^{2}}{4}=\frac{10|\vec{BC}|^{2}-10|\vec{BC}|^{2}}{4}=0$

άσκηση στα διανύσματα

άσκηση στα διανύσματα

Re: άσκηση στα διανύσματα

Re: άσκηση στα διανύσματα

Μέλη σε σύνδεση