Ερώτηση στο εσωτερικό γινόμενο

[propaid]

Σε διαγώνισμα ζητήθηκε να χαρακτηριστεί ως Σωστή ή Λάθος η πρόταση:

Ποια απάντηση πρέπει να δεχθούμε και γιατί;
Ευχαριστώ, Στάμου Γιάννης.

[Γιώργος Απόκης]

Σωστή είναι Γιάννη.

Αν τα διανύσματα είναι κάθετα, πάντα το εσωτερικό γινόμενο είναι μηδέν.

Αντίστροφα, αν το εσωτερικό γινόμενο είναι μηδέν υπάρχουν δύο περιπτώσεις:

α) Τα διανύσματα είναι μη μηδενικά και κάθετα

β) Ένα τουλάχιστον είναι το μηδενικό, άρα μπορεί να θεωρηθεί κάθετο προς το άλλο.

[Mihalis_Lambrou]

Θέλω να συμπληρώσω αλλά πρώτα θα κάνω ένα σχόλιο: Συνήθως παίρνουμε ως σύμβαση ότι το μηδενικό διάνυσμα είναι κάθετο σε όλα τα διανύσματα. Είναι θέμα επιλογής του εκάστοτε συγγραφέα ή του Αναλυτικού Προγράμματος και η επιλογή αυτή έχει περισσότερα πλεονεκτήματα από μειονεκτήματα (*).

Εάν κάνουμε αυτή την σύμβαση (δεν θυμάμαι τι δέχεται το Σχολικό βιβλίο), τότε η απάντηση στην παραπάνω ερώτηση Σ-Λ είναι: Σ
Αλλιώς, η απάντηση είναι Λ.

Φιλικά,

Μιχάλης

(*) Π.χ. ένα μειονέκτημα είναι ότι χάνουμε τώρα την ιδιότητα: Εάν στο επίπεδο δύο διανύσματα είναι κάθετα σε τρίτο, τότε είναι μεταξύ τους παράλληλα (ή συμπίπτουν).
Την ιδιότητα αυτή πρέπει να την επαναδιατυπώσουμε αποκλείοντας τα μηδενικά διανύσματα.

Επίσης συχνά παίρνουμε ως σύμβαση ότι το μηδενικό διάνυσμα είναι παράλληλο σε όλα τα διανύσματα. Έτσι έχουμε το "παράδοξο" ότι υπάρχουν διανύσματα (τα μηδενικά) που είναι συγχρόνως και κάθετα και παράλληλα προς δοθέν μη μηδενικό.

Και ένα τελευταίο σχόλιο.

Η όλη ιστορία θυμίζει τα περί κυβικής ρίζας αρνητικού. Σήμερα στα Σχολεία απαγορεύεται το . Παλαιότερα επιτρεπόταν, όπως επιτρέπεται στις Ολυμπιάδες και στα Σχολεία σε διάφορες χώρες του εξωτερικού (Κίνα, Ρουμανία, Ουγγαρία κ.α.).

Γνώμη μου για τις συμβάσεις αυτές:

α) Το κάθετο σε όλα τα άλλα: Καλή σύμβαση (πολλή χρήσιμη και σε επόμενο στάδιο, όπως στους Χώρους Hilbert).

β) Απαγόρευση του : Κακή επιλογή. Ναι υπάρχουν κάποια διδακτικά πλεονεκτήματα για τον αρχάριο, αλλά γρήγορα μας φρακάρει. Άλλωστε σε επόμενο στάδιο, αναιρούμε αυτή την απαγόρευση.

[Γιώργος Απόκης]

H ανάλυση του Μιχάλη είναι πληρέστατη, απλά να παραπέμψω το Γιάννη στο σχολικό, που δέχεται την παραπάνω σύμβαση...

στη σελίδα 12 αναφέρει "Ως φορέα του μηδενικού διανύσματος μπορούμε να θεωρήσουμε οποιαδήποτε από τις ευθείες που διέρχονται από το "

και στη σελίδα 15 αναφέρει "Mπορούμε να θεωρήσουμε ότι το μηδενικό διάνυσμα είναι ομόρροπο ή αντίρροπο ή ακόμη και κάθετο σε κάθε άλλο διάνυσμα"

[Νασιούλας Αντώνης]

Μια συζήτηση περί μηδενικού διανύσματος είχαμε κάνει εδώ, την οποία και επαναφέρω για όποιον ενδιαφέρεται.

[STOPJOHN]

Γιατί δεν επιτρέπεται στα σχολικά βιβλία ; Οι μαθητές μου είπανε ότι σε παριοδικά της Ε.Μ.Ε γίνεταο δεκτό και ακόμη οι Φυσικοί το θεωρόυν σωστό .Η απάντηση μου είναι ότι πολλά χρόνια πριν στη Γαλλία και για λόγους διευκόλυνσης των Υπολογιστών δέχθηκαν ,συμβατικά θετικά τα υπόρριζα.Από τότε χρησιμοποιέιται με αυτή τη λογική στα σχολικά βιβλία .Μήπως υπάρχουν και άλλοι λόγοι;
Γ.Σ

[Mihalis_Lambrou]

Γιατί δεν επιτρέπεται στα σχολικά βιβλία ; Οι μαθητές μου είπανε ότι σε παριοδικά της Ε.Μ.Ε γίνεταο δεκτό και ακόμη οι Φυσικοί το θεωρόυν σωστό .Η απάντηση μου είναι ότι πολλά χρόνια πριν στη Γαλλία και για λόγους διευκόλυνσης των Υπολογιστών δέχθηκαν ,συμβατικά θετικά τα υπόρριζα.Από τότε χρησιμοποιέιται με αυτή τη λογική στα σχολικά βιβλία .Μήπως υπάρχουν και άλλοι λόγοι;
Γ.Σ

Θα μάντευα ότι δεν είναι αυτός ο λόγος γιατί η συζήτηση για αρνητικές υπόρριζες ποσότητες ξεκίνησε πολύ πριν τους υπολογιστές.

Η αιτία είναι διότι η άκριτη χρήση θεωρημάτων μπορεί να μας οδηγήσει σε παράδοξα όπως

ή ακόμη (ουσιαστικά το ίδιο)


Για το τελευταίο, "όλοι" θα δεχθούν ότι ισχύει αλλά να που δεν ισχύει, ενώ οι μαθητές σπάνε το κεφάλι τους να καταλάβουν τι δεν πάει καλά. Ίσα ίσα, νομίζουν ότι είνα απολύτως σωστό.

Φιλικά,

Μιχάλης

[STOPJOHN]

Ευχαριστώ για τις διευκρινήσεις.
Γ.Σ

[propaid]

Ευχαριστώ για την ενασχόληση και τις επεξηγήσεις.
Στάμου Γιάννης