Άλλη λύση ?

angvl · #1

Καλησπέρα.

Στήν άσκηση πέντε β' όμαδας στο εσωτερικό γινόμενο στο σχολικό βιβλίο λέει
αν τα διανύσματα $\vec{a}=(k,l)$ καί $\vec{b}=(m,n)$ είναι κάθετα καί έχουν μέτρα ίσα με την μονάδα να αποδείξετε ότι $(kn - lm)^{2}= 1$ .

Ενας τρόπος λύσης είναι να θεωρήσουμε την ταυτότητα (k^2+l^2)(m^2+n^2)-(km+ln)^2=(kn-lm)^2

.

Υπάρχει κάποιος άλλος τρόπος πιο ας πούμε πιό ''κομψός" ?

chrislg · #2

για αυτή την άσκηση πιστεύω ότι η ταυτότητα που ανέφερες ή αλλιώς ταυτότητα Lagrange είναι η πιο "κομψή" λύση

#3

Αν δεν θέλουμε να εφαρμόσουμες την ταυτότητα (Lagrange),

ξεκινάμε από τα δεδομένα της άσκησης:

$\displaystyle \vec a \bot \vec b \Rightarrow km + \ln = 0\; \Rightarrow \;k^2 m^2 + l^2 n^2 + 2klmn = 0 \Rightarrow \\ \\ \Rightarrow k^2 m^2 + l^2 n^2 = - 2klmn\left( 1 \right)$

$\displaystyle \begin{array}{l} \left| {\vec a} \right| = 1 \Rightarrow k^2 + l^2 = 1\;\;\;\left( 2 \right) \\ \left| {\vec b} \right| = 1 \Rightarrow m^2 + n^2 = 1\;\;\left( 3 \right) \\ \end{array}$

Οπότε, πολλαπλασιάζοντας κατά μέλη τις (2), (3) $\displaystyle k^2 m^2 + k^2 n^2 + l^2 m^2 + l^2 n^2 = 1 \Rightarrow k^2 n^2 + l^2 m^2 = 1 - k^2 m^2 - l^2 n^2 \;\;\;\left( 4 \right)$

Άρα $\displaystyle \left( {kn - lm} \right)^2 = k^2 n^2 + l^2 m^2 - 2klmn = 1 - k^2 m^2 - l^2 n^2 + k^2 m^2 + l^2 n^2 = 1$

#4

Μια άλλη ιδέα:
Θεωρώ τα διανύσματα $\displaystyle \vec{a}$ και $\displaystyle \vec{b}$ με κοινή αρχή την αρχή των αξόνων.
Τότε θα είναι:
$\displaystyle \vec{OA}=\vec{a}, \ \ \vec{OB}=\vec{b}$
όπου: $\displaystyle A(k,l), \ \ B(m,n)$
Λόγω της καθετότητας των διανυσμάτων αυτών θα είναι:
$\displaystyle \hat{XOA}=\hat{YOB}=\hat{\varphi } \ \ (1)$

Θεωρούμε ακόμα το συμμετρικό του διανύσματος $\displaystyle \vec{a}$ ως προς τη διχοτόμο της πρώτης γωνίας του συστήματος αναφοράς.
Το διάνυσμα αυτό θα είναι το $\displaystyle \vec{OA'}, \ \ \mu \varepsilon \ \ A'(l,k)$
Κατόπιν αυτού θα είναι ακόμα:
$\displaystyle \hat{YOA'}=\hat{\varphi } \ \ (2)$

Από τις (1) και (2) προκύπτει:
$\displaystyle \hat{YOB}=\hat{YOA' }=\hat{\varphi }$

Επομένως στο τρίγωνο $\displaystyle{OBA'}$ η $\displaystyle{OE}$ είναι διχοτόμος κι επειδή είναι ισοσκελές( $\displaystyle OB=OA'=\left|a \right|=\left|b \right|=1$ )
η διχοτόμος θα είναι διάμεσος και ύψος.
Άρα: $\displaystyle n=k \ \ \kappa \alpha \iota \ \ m=-l \ \ (3)$

Τέλος, λόγω της (3) το πρώτο μέλος της ζητούμενης σχέσης γίνεται:
$\displaystyle (kn-lm)^2=(k^2-l(-l))^2=(k^2+l^2)^2=1^2=1$
Άρα:
$\displaystyle (kn-lm)^2=1$
δηλαδή η ζητούμενη.

Κώστας Δόρτσιος

Christos.N · #5

Μια άλλη προσέγγιση στο θέμα που ίσχυε μέχρι το 2009.

Τα διανύσματα είναι μοναδιαία άρα μπορούμε να θεωρήσουμε ότι υπάρχουν γωνίες $\displaystyle{ \omega ,\theta \in [0,2\pi ] }$
τέτοιες ώστε $\displaystyle{ \overrightarrow \alpha = (\sigma \upsilon \nu \omega ,\eta \mu \omega ) }$
και $\displaystyle{ \overrightarrow \beta = (\sigma \upsilon \nu \theta ,\eta \mu \theta ) }$
επειδή τα διανύσματα είναι κάθετα θα ισχύει ότι $\displaystyle{ \theta - \omega = \frac{\pi }{2} }$
ή $\displaystyle{ \omega - \theta = \frac{\pi }{2} }$
άρα $\displaystyle{ \eta \mu (\theta - \omega ) = 1\, \vee \eta \mu (\theta - \omega ) = - 1 \Rightarrow \eta \mu ^2 (\theta - \omega ) = 1 }$
αναπτύσοντας προκύπτει το ζηούμενο, $\displaystyle{ (\sigma \upsilon \nu \omega \eta \mu \theta - \sigma \upsilon \nu \theta \eta \mu \omega )^2 = 1 \Rightarrow (kv - lm)^2 = 1 }$

#6

angvl έγραψε:Καλησπέρα.

Στήν άσκηση πέντε β' όμαδας στο εσωτερικό γινόμενο στο σχολικό βιβλίο λέει
αν τα διανύσματα $\vec{a}=(k,l)$ καί $\vec{b}=(m,n)$ είναι κάθετα καί έχουν μέτρα ίσα με την μονάδα να αποδείξετε ότι $(kn - lm)^{2}= 1$ .

Ενας τρόπος λύσης είναι να θεωρήσουμε την ταυτότητα .

Υπάρχει κάποιος άλλος τρόπος πιο ας πούμε πιό ''κομψός" ?

Να ένας άλλος κομψός και διδαδικτός, κατά την γνώμη μου, τρόπος:

Τοποθετούμε τα διανύσματα $\vec{a}=\vec{OA}, \vec{\beta }=\vec{OB}$ με κοινή αρχή το Ο, οπότε το εμβαδόν του τριγώνου OAB

, υπολογιζόμενο με δύο τρόπους δίνει:

$(OAB)=\frac{1}{2}|\vec{OA}|\cdot | \vec{OB}| =\frac{1}{2}|det(\vec{\alpha },\vec{\beta} )|\Rightarrow \frac{1}{2}=\frac{1}{2}|kn-lm|\Rightarrow (kn-lm)^2=1$

parmenides51 · #7

Ωραία και απλή η λύση του Κώστα (rek).

Christos.N · #8

Και άλλη μια που προήλθε απο μια συζήτηση με τον Βαγγέλη.
Έστω $\displaystyle{ \overrightarrow b ^* = (n, - m) }$
τότε ισχύουν τα παρακάτω:
$\displaystyle{ \overrightarrow b ^* \overrightarrow b = 0 \Rightarrow \overrightarrow b ^* //\overrightarrow a \Rightarrow \overrightarrow b ^* \overrightarrow a = \pm |\overrightarrow b ^* ||\overrightarrow a | \Rightarrow kn - lm = \pm 1 \Rightarrow (kn - lm)^2 = 1 }$

Άλλη λύση ?

Άλλη λύση ?

Re: Άλλη λύση ?

Re: Άλλη λύση ?

Re: Άλλη λύση ?

Re: Άλλη λύση ?

Re: Άλλη λύση ?

Re: Άλλη λύση ?

Re: Άλλη λύση ?

Μέλη σε σύνδεση