Ακέραιοι ...

KARKAR · #1

Βρείτε όλους τους θετικούς ακεραίους

, για τους οποίους το πηλίκο :

$\displaystyle\frac{(n+1)^2+(n+2)^2+....+(2n)^2}{1^2+2^2+3^2+... +n^2}$ , είναι ακέραιος . ( Και παράδειγμα ! )

spiros filippas · #2

KARKAR έγραψε:Βρείτε όλους τους θετικούς ακεραίους , για τους οποίους το πηλίκο :

$A=\displaystyle\frac{(n+1)^2+(n+2)^2+....+(2n)^2}{1^2+2^2+3^2+... +n^2}$ , είναι ακέραιος . ( Και παράδειγμα ! )

Εχουμε $\displaystyle A=\frac{1^2+2^2+...n^2+(n+1)^2+...+(2n)^2-(1^2+2^2+...n^2)}{1^2+...n^2}=$

$\displaystyle =\frac{1^2+2^2+...+(2n)^2}{1^2+...+n^2}-1$ , άρα θα πρέπει $B=\displaystyle \frac{1^2+2^2+...+(2n)^2}{1^2+...+n^2}\in Z$

Ομως $\displaystyle 1^2+2^2+...+(2n)^2=\frac{2n(2n+1)(4n+1)}{6} ~~\kappa \alpha \iota~1^2+2^2+...n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

άρα $\displaystyle B=\frac{2n(2n+1)(4n+1)}{n(n+1)(2n+1)}=\frac{8n+2}{n+1}=\frac{8(n+1)-6}{n+1}=8-\frac{6}{n+1}\in Z$

Aρα $n+1\in \left\{1,2,3,6 \right\}\Rightarrow n\in\left\{0,1,2,5 \right\}$

Δεκτά τα όλα εκτός απο το

KARKAR · #3

Άψογος , ως συνήθως , αλλά γιατί τόση τσιγγουνιά για ένα παραδειγματάκι ;

Με την ευκαιρία να πούμε ότι :

(n+1)^2+(n+2)^2+...+(2n)^2=(1^2+2^2+...+(2n)^2) -(1^2+2^2+...+n^2)=

$\displaystyle =\frac{2n(2n+1)(4n+1)}{6}-\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}=\frac{n(2n+1)(7n+1)}{6}$

συμπέρασμα που από μόνο του αποτελεί ωραία άσκηση !

Και το παράδειγμα : για n=5

παίρνω : $\displaystyle \frac{6^2+7^2+8^2+9^2+10^2}{1^2+2^2+3^2+4^2+5^2}=\frac{330}{55}=6$

Ακέραιοι ...

Ακέραιοι ...

Re: Ακέραιοι ...

Re: Ακέραιοι ...

Μέλη σε σύνδεση