Οξεία γωνία ευθειών

Γιώργος Απόκης · #1

Να βρεθεί η τιμή του πραγματικού

ώστε μια από τις γωνίες που σχηματίζουν οι ευθείες $(\epsilon_1):mx-y+19=0,~(\epsilon_2):-mx+3y+4=0$

να είναι $30^{o}$ .

perpant · #2

Θεωρώ τα $\displaystyle{ \overrightarrow {\delta _1 } = \left( { - 1, - m} \right) }$
και $\displaystyle{ \overrightarrow {\delta _2 } = \left( {3,m} \right) }$
τα οποία είναι αντίστοιχα παράλληλα προς τις $\displaystyle{ \left( {\varepsilon _1 } \right) }$
και $\displaystyle{ \left( {\varepsilon _2 } \right) }$
. Τότε η οξεία γωνία των δύο ευθειών είναι ίση ή παραπληρωματική με τη γωνία των δύο διανυσμάτων.
Τότε $\displaystyle{ \cos \left( {\overrightarrow {\delta _1 } \widehat{,\overrightarrow {\delta _2 } }} \right) = \frac{{\overrightarrow {\delta _1 } \cdot \overrightarrow {\delta _2 } }}{{\left| {\overrightarrow {\delta _1 } } \right|\left| {\overrightarrow {\delta _2 } } \right|}} }$
.Όμως $\displaystyle{ \overrightarrow {\delta _1 } \cdot \overrightarrow {\delta _2 } = \left( { - 1, - m} \right)\left( {3,m} \right) = - 3 - m^2 }$
και $\displaystyle{ \left| {\overrightarrow {\delta _1 } } \right| = \sqrt {1 + m^2 } }$
και $\displaystyle{ \left| {\overrightarrow {\delta _2 } } \right| = \sqrt {9 + m^2 } }$
. Άρα $\displaystyle{ \cos \left( {\overrightarrow {\delta _1 } \widehat{,\overrightarrow {\delta _2 } }} \right) = \frac{{\overrightarrow {\delta _1 } \cdot \overrightarrow {\delta _2 } }}{{\left| {\overrightarrow {\delta _1 } } \right|\left| {\overrightarrow {\delta _2 } } \right|}} = \frac{{ - 3 - m^2 }}{{\sqrt {1 + m^2 } \sqrt {9 + m^2 } }} }$
. Οπότε $\displaystyle{ \cos \left( {\overrightarrow {\delta _1 } \widehat{,\overrightarrow {\delta _2 } }} \right) = \cos 30 \Leftrightarrow \frac{{ - 3 - m^2 }}{{\sqrt {1 + m^2 } \sqrt {9 + m^2 } }} = \frac{{\sqrt 3 }}{2} }$
$\displaystyle{ \Leftrightarrow m^4 - 6m^2 + 9 = 0 \Leftrightarrow \left( {m^2 - 3} \right)^2 = 0 \Leftrightarrow m = \pm \sqrt 3 }$
Δεν προλαβαίνω επαλήθευση και δεν ξέρω αν είναι και οι δύο αποδεκτές

Γιώργος Απόκης · #3

Δεκτές είναι... Συγκεκριμένα, για $m=\sqrt{3}$ προκύπτουν οι ευθείες $\displaystyle{(\epsilon_1):y=\sqrt{3}x+19,~(\epsilon_2):y=\frac{\sqrt{3}}{3}x-\frac{4}{3}}$ (αριστερό σχήμα)

που σχηματίζουν αντίστοιχα $60^{o}$ και $30^{o}$ με τον xx' άρα μεταξύ τους $30^{o}$ και για $m=-\sqrt{3}$ προκύπτουν οι ευθείες

$\displaystyle{(\epsilon_1):y=-\sqrt{3}x+19,~(\epsilon_2):y=-\frac{\sqrt{3}}{3}x-\frac{4}{3}}$ (δεξιό σχήμα) που σχηματίζουν αντίστοιχα $120^{o}$ και $150^{o}$ με τον xx' άρα μεταξύ τους $30^{o}$ .

parmenides51 · #4

Λήμμα
Η οξεία γωνία που σχηματίζουν δυο ευθείες $\displaystyle{(\varepsilon_1 ),(\varepsilon_2 )}$ των οποίων ορίζεται ο συντελεστής διεύθυνσης δίνεται από τον τύπο $\displaystyle{\epsilon \varphi (\omega _{o\xi })=\left|\frac{\lambda_1-\lambda_2}{1+\lambda_1\lambda_2} \right|}$
όπου $\displaystyle{\lambda_1,\lambda_2}$ οι συντελεστές διεύθυνσης τους.

Απόδειξη

: οxignwio.PNG (1.57 KiB) Προβλήθηκε 5712 φορές

,

: amblignwio.PNG (1.66 KiB) Προβλήθηκε 5712 φορές

Θεωρούμε τις τεμνόμενες αλλά όχι κάθετες ευθείες $\displaystyle{(\varepsilon_1 ),(\varepsilon_2 )}$ των οποίων ορίζεται ο συντελεστής διεύθυνσης
και σχηματίζουν με τον άξονα $\displaystyle{x'x}$ γωνίες $\displaystyle{\beta,\alpha}$ αντίστοιχα και μεταξύ τους γωνία $\displaystyle{ \omega }$ όπως φαίνεται στα δυο σχήματα.
Προφανώς $\displaystyle{\lambda_1=\epsilon \varphi\beta}$ και $\displaystyle{\lambda_2=\epsilon \varphi\alpha}$ .

$\displaystyle{\bullet}$ Έστω $\displaystyle{\beta>\alpha}$

Και στα δύο σχήματα η γωνία $\displaystyle{\beta}$ είναι εξωτερική στο τρίγωνο οπότε $\displaystyle{\beta=\omega+\alpha \Leftrightarrow \omega=\beta-\alpha}$ .
Άρα $\displaystyle{\epsilon \varphi \omega=\epsilon \varphi (\beta-\alpha)=\frac{\epsilon \varphi \beta-\epsilon \varphi\alpha}{1+\epsilon \varphi \beta\cdot\epsilon \varphi\alpha}=\frac{\lambda_1-\lambda_2}{1+\lambda_1\lambda_2}}$
Αν το τρίγωνο είναι οξυγώνιο, τότε η $\displaystyle{\epsilon \varphi (\omega _{o\xi })=\epsilon \varphi \omega=\frac{\lambda_1-\lambda_2}{1+\lambda_1\lambda_2}}$
Αν το τρίγωνο είναι αμβλυγώνιο, τότε $\displaystyle{\epsilon \varphi (\omega _{o\xi })=\epsilon \varphi (\pi-\omega)=-\epsilon \varphi \omega=-\frac{\lambda_1-\lambda_2}{1+\lambda_1\lambda_2} =\frac{\lambda_2-\lambda_1}{1+\lambda_1\lambda_2}}$
Και στις δυο περιπτώσεις ισχύει ο τύπος $\displaystyle{\epsilon \varphi (\omega _{o\xi })=\left|\frac{\lambda_1-\lambda_2}{1+\lambda_1\lambda_2} \right|$

$\displaystyle{\bullet}$ Έστω $\displaystyle{\alpha >\beta}$
ομοίως προκύπτει πως και στις δυο περιπτώσεις ισχύει ο τύπος $\displaystyle{\epsilon \varphi (\omega _{o\xi })=\left|\frac{\lambda_2-\lambda_1}{1+\lambda_1\lambda_2} \right|=\left|\frac{\lambda_1-\lambda_2}{1+\lambda_1\lambda_2} \right|}$

$\displaystyle{\bullet}$ Παρατηρούμε πως ο παραπάνω τύπος ισχύει και για $\displaystyle{\alpha =\beta}}$ δηλαδή παράλληλες ευθείες
αφού $\displaystyle{\epsilon \varphi (\omega _{o\xi })=\left|\frac{\lambda_1-\lambda_2}{1+\lambda_1\lambda_2} \right|=\left|\frac{\lambda_1-\lambda_1}{1+\lambda_1\lambda_1} \right|=\left|\frac{0}{1+\lambda_1^2} \right|=0}$ αφού $\displaystyle{\lambda_1=\lambda_2}$

Γιώργος Απόκης έγραψε:Να βρεθεί η τιμή του πραγματικού ώστε μια από τις γωνίες που σχηματίζουν οι ευθείες $(\epsilon_1):mx-y+19=0,~(\epsilon_2):-mx+3y+4=0$

να είναι $30^{o}$ .

$\displaystyle{(\epsilon_1):mx-y+19=0\Leftrightarrow y=mx+19\Rightarrow \lambda_1=m}$

$\displaystyle{(\epsilon_2):-mx+3y+4=0[\Leftrightarrow y=\frac{mx}{3}-\frac{4}{3}\Rightarrow \lambda_2=\frac{m}{3}}$

οπότε σύμφωνα με το παραπάνω λήμμα έχουμε πως

$\displaystyle{\epsilon \varphi (\omega _{o\xi })=\left|\frac{\lambda_1-\lambda_2}{1+\lambda_1\lambda_2} \right|=\left|\frac{m-\frac{m}{3}}{1+m\frac{m}{3}} \right|=\left|\frac{\frac{2m}{3}}{\frac{3+m^2}{3}} \right|=\left|\frac{2m}{3+m^2} \right|}$

κι επειδή $\displaystyle{\epsilon \varphi (\omega _{o\xi })=\epsilon \varphi (30^{\circ})=\frac{\sqrt3}{3}=\frac{1}{\sqrt3}}$

έχουμε πως $\displaystyle{\left|\frac{2m}{3+m^2} \right|=\frac{1}{\sqrt3}\Leftrightarrow \frac{2m}{3+m^2}=\pm\frac{1}{\sqrt3}\Leftrightarrow }$

$\displaystyle{2\sqrt3m=3+m^2\Leftrightarrow m^2-2\sqrt3m+3=0\Leftrightarrow (m-\sqrt3)^2=0 \Leftrightarrow m=\sqrt3}$
ή
$\displaystyle{-2\sqrt3m=3+m^2\Leftrightarrow m^2+2\sqrt3m+3=0\Leftrightarrow (m+\sqrt3)^2=0 \Leftrightarrow m=-\sqrt3}$

Υ.Γ. Ελπίζω η απόδειξη του λήμματος να είναι σωστή.

Οξεία γωνία ευθειών

Οξεία γωνία ευθειών

Re: Οξεία γωνία ευθειών

Re: Οξεία γωνία ευθειών

Re: Οξεία γωνία ευθειών

Μέλη σε σύνδεση