Συντρέχουν!!!

alexandropoulos · #1

Με αφορμή την άσκηση"γωνία σε παραβολή" . Μια κοντινή της.

Να δειχθεί ότι οι υποτείνουσες των ορθογωνίων τριγώνων των εγγεγραμμένων σε παραβολή με ορθή γωνία στην κορυφή της παραβολής, συντρέχουν με τον άξονα της.

#2

alexandropoulos έγραψε:Με αφορμή την άσκηση"γωνία σε παραβολή" . Μια κοντινή της.

Να δειχθεί ότι οι υποτείνουσες των ορθογωνίων τριγώνων των εγγεγραμμένων σε παραβολή με ορθή γωνία στην κορυφή της παραβολής, συντρέχουν με τον άξονα της.

Ας είναι, χωρίς βλάβη της γενικότητας, y^2=2px, p>0

η εξίσωσή της παραβολής, και ας είναι A(x_1, y_1), B(x_2, y_2)

με $y_1 y_2\neq 0$ και $x_1=\frac{y_1^2}{2p},x_2=\frac{y_2^2}{2p},$ , y_1, y_2

ετερόσημα (οπότε και διαφορετικά μεταξύ τους) , οι δύο άλλες κορυφές, εκτός του Ο, ενός εγγεγραμμένου στη παραβολή ορθογωνίου τριγώνου.

Επειδή τα διανύσματα (x_1, y_1), (x_2, y_2)

είναι κάθετα το εσωτερικό τους γινόμενο είναι 0, επομένως

$x_1x_2+y_1y_2=0 \Rightarrow \frac{y_1^2}{2p}\frac{y_2^2}{2p}+y_1y_2=0\Rightarrow y_1y_2+4p^2=0$ (1)

Αν x_1=x_2

τότε

και από την (1) |y_1|= |y_2|=2p

, άρα και

, επομένως η

τέμνει τον άξονα των χ στο σημείο του ( 2p,0)

. Έστω, στη συνέχεια, $x_1\neq x_2$ .

Η εξίσωση της υποτείνουσας

είναι $y-y_1=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}(x-x_1)$ και για y=0

δίνει:

$-y_1=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}(x-x_1)\Rightarrow x=-y_1\frac{x_2-x_1}{y_2-y_1}+x_1$

$\Rightarrow x=-y_1\frac{\frac{y_1^2}{2p}-\frac{y_1^2}{2p}}{y_2-y_1}+\frac{y_1^2}{2p}=\frac{-y_1(y_1+y_2)+y_1^2}{2p}=\frac{-y_1y_2}{2p}=2p$

Άρα η υποτείνουσες συντρέχουν με τον άξονα της παραβολής και μάλιστα στο σημείο του (2p,0)

Υπάρχει λύση και με πολικές.

parmenides51 · #3

rek έγραψε:Υπάρχει λύση και με πολικές.

Θα χαιρόμουν να την δώ

Συντρέχουν!!!

Συντρέχουν!!!

Re: Συντρέχουν!!!

Re: Συντρέχουν!!!

Μέλη σε σύνδεση