συλλογή ασκήσεων Β Λυκείου (κατεύθυνση)

Συντονιστής: Τηλέγραφος Κώστας

Άβαταρ μέλους
ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΤΣΙΠΟΔΑΣ
Δημοσιεύσεις: 681
Εγγραφή: Δευ Απρ 20, 2009 8:25 pm
Τοποθεσία: Καλαμάτα
Επικοινωνία:

συλλογή ασκήσεων Β Λυκείου (κατεύθυνση)

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #1 από ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΤΣΙΠΟΔΑΣ » Παρ Φεβ 10, 2012 9:14 pm

Μετά την επιτυχία που είχαν οι συλλογές στα μαθηματικά γενικής και κατεύθυνσης. Ας συνεχίσουμε με την Β λύκείου. Ξεκινάμε με κατεύθυνση και αν υπάρχει διάθεση και συμμετοχή συνεχίζουμε και σε αλγεβρα.

Ας προσπάθήσουμε να κρατήσουμε τους κανόνες που είχαμε και στις άλλες συλλογές.

\bullet ΟΧΙ θέματα εξετάσεων (αν και για είναι λίγα)

\bullet ΟΧΙ θεματα της ΟΕΦΕ

\bulletOXI περισσότερες των 2-3 άλυτων ασκήσεων.

\bullet Να μην μπαίνει άσκηση συνδυαστική από μεταγενέστερο κεφάλαιο δηλαδή να μην βάλετε στα διανύσματα άσκηση με ευθεία, ας μπει στη ευθεία αν σας αρέσει τόσο.

\bullet Εφόσον τα προτεινόμενα θέματα τα αντλούμε από διάφορα βοηθήματα, επιβάλλεται να αναφέρεται η πηγή (εφόσον υπάρχει).

\bullet Ας μην προτείνουμε τραβηγμένα θέματα καθώς και ούτε ασκήσεις ένα ερώτημα (ας το σπάσουμε σε καθοδηγούμενα υποερωτήματα).

\bullet Ας προσπαθήσουμε τα προτεινόμενα θέματα να έχουν ένα ικανό αριθμό υποερωτημάτων (από 3 έως 5 ερωτήματα).

\bullet Να προσπάθούμε να δείνουμε ολοκληρωμένες λύσεις, έτσι ίσως βοηθήσουμε τον Parmenidis να μας δώσει εκτός του αρχείο των εκφωνήσεων και αρχείο με λύσεις. Επίσης θα είναι κατανοητές και από τους μαθητες.

Στόχος μας είναι να κάνουμε μια συλλογή με \displaystyle{50}.

Μιας και έχουμε \displaystyle{3} κεφάλαια,πιστεύω πως μια συλλογή με:

\bullet \displaystyle{15} ασκήσεις στα διανύσματα.

\bullet \displaystyle{15} ασκήσεις στην ευθεία

\bullet \displaystyle{20} ασκήσεις στις κωνικές τομές

Νομίζω οτι είναι καλά. Αν είναι βάζουμε και λίγα συνδυαστικά θέματα, όχι όμως όλες οι ασκήσεις να είναι συνδυαστικες.

Λόγω του μικρού αριθμού των ασκήσεων, θα ήθελα οι συμμετέχοντες να κοιτάζουν τα προηγούμενα θέματα, ώστε να μην έχουμε ασκήσεις ίδιας μορφής.

Ελπίζω, σε συμμετοχή και άλλων μέλων καθώς και μαθητών.

\bulletΕπίσης συνεχίζεται η συλλογή και στα ΕΠΑΛ.
τελευταία επεξεργασία από ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΤΣΙΠΟΔΑΣ σε Δευ Απρ 09, 2012 1:43 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


\displaystyle{
{\rm K}\alpha \tau \sigma \dot \iota \pi o\delta \alpha \varsigma \begin{array}{*{20}c}
   {} & {\Delta \eta \mu \dot \eta \tau \rho \eta \varsigma }  \\
\end{array}
}
Άβαταρ μέλους
ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΤΣΙΠΟΔΑΣ
Δημοσιεύσεις: 681
Εγγραφή: Δευ Απρ 20, 2009 8:25 pm
Τοποθεσία: Καλαμάτα
Επικοινωνία:

Re: συλλογή ασκήσεων Β Λυκείου (κατεύθυνση)

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #2 από ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΤΣΙΠΟΔΑΣ » Παρ Φεβ 10, 2012 9:29 pm

ΑΣΚΗΣΗ 1

Αν \displaystyle{\overrightarrow {OA}  + 2\overrightarrow {OB}  - 3\overrightarrow {O\Gamma }  = \overrightarrow 0 } και \displaystyle{
\left| {\overrightarrow {OA} } \right| = \left| {\overrightarrow {OB} } \right| = 1,\left| {\overrightarrow {O\Gamma } } \right| = \frac{{\sqrt 5 }}{3}
}

α. Να δείξετε ότι τα σημεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά.

β. Να βρείτε τη σχετική θέση των Α, Β, Γ .

γ. Να αποδείξετε ότι τα διανύσματα \displaystyle{\overrightarrow {{\rm O}{\rm A}} ,\overrightarrow {{\rm O}{\rm B}} 
} είναι ορθογώνια.

δ. Να αποδείξετε ότι η γωνία των \displaystyle{\overrightarrow {{\rm O}{\rm A}} ,\overrightarrow {{\rm O}\Gamma } 
} είναι οξεία.


\displaystyle{
{\rm K}\alpha \tau \sigma \dot \iota \pi o\delta \alpha \varsigma \begin{array}{*{20}c}
   {} & {\Delta \eta \mu \dot \eta \tau \rho \eta \varsigma }  \\
\end{array}
}
Άβαταρ μέλους
Τηλέγραφος Κώστας
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1003
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 12:06 am
Τοποθεσία: ΦΕΡΕΣ-ΑΛΕΞ/ΠΟΛΗ
Επικοινωνία:

Re: συλλογή ασκήσεων Β Λυκείου (κατεύθυνση)

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #3 από Τηλέγραφος Κώστας » Παρ Φεβ 10, 2012 9:49 pm

ΑΣΚΗΣΗ 2
Έστω τα μη μηδενικά διανύσματα \displaystyle{\vec{\alpha },\vec{\beta }} με \displaystyle{\pi \rho o{{\beta }_{{\vec{\beta }}}}\vec{\alpha }=-2\vec{\beta }} και \displaystyle{\pi \rho o{{\beta }_{{\vec{\alpha }}}}\vec{\beta }=-\frac{1}{4}\vec{\alpha }}

α)Δείξτε ότι \displaystyle{\left| {\vec{\alpha }} \right|=2\sqrt{2}\left| {\vec{\beta }} \right|}

β) Βρείτε την \displaystyle{\left( \overset{\wedge }{\mathop{\vec{\alpha },\vec{\beta }}}\, \right)}


Φιλικά
Τηλέγραφος Κώστας
\displaystyle{
F(x) = \int_a^x {f(t)dt} 
}
Άβαταρ μέλους
Μάκης Χατζόπουλος
Δημοσιεύσεις: 2456
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 4:13 pm
Τοποθεσία: Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: συλλογή ασκήσεων Β Λυκείου (κατεύθυνση)

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #4 από Μάκης Χατζόπουλος » Παρ Φεβ 10, 2012 10:15 pm

Τηλέγραφος Κώστας έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 2
Έστω τα μη μηδενικά διανύσματα \displaystyle{\vec{\alpha },\vec{\beta }} με \displaystyle{\pi \rho o{{\beta }_{{\vec{\beta }}}}\vec{\alpha }=-2\vec{\beta }} και \displaystyle{\pi \rho o{{\beta }_{{\vec{\alpha }}}}\vec{\beta }=-\frac{1}{4}\vec{\alpha }}

α)Δείξτε ότι \displaystyle{\left| {\vec{\alpha }} \right|=2\sqrt{2}\left| {\vec{\beta }} \right|}

β) Βρείτε την \displaystyle{\left( \overset{\wedge }{\mathop{\vec{\alpha },\vec{\beta }}}\, \right)}


Λύση (καλύτερα να λύνω παρά να παρακολουθώ το ποδόσφαιρο...)

α) Έχουμε ότι \pi \rho o{\beta _{\vec \beta }}\overrightarrow \alpha   = \lambda  \cdot \vec \beta \,\,\,\left( 1 \right)

Εύρεση του \lambda

\begin{array}{l}
 \vec \beta  \cdot \pi \rho o{\beta _{\vec \beta }}\overrightarrow \alpha   = \vec \beta  \cdot \vec \alpha \mathop  \Leftrightarrow \limits^{\left( 1 \right)} \vec \beta  \cdot \left( {\lambda \vec \beta } \right) = \vec \beta  \cdot \vec \alpha  \\ 
  \Leftrightarrow \lambda  \cdot {\left| {\vec \beta } \right|^2} = \vec \beta  \cdot \vec \alpha  \\ 
  \Leftrightarrow \lambda  = \frac{{\vec \beta  \cdot \vec \alpha }}{{{{\left| {\vec \beta } \right|}^2}}} \\ 
 \end{array}

Οπότε η σχέση (1) γίνεται: \pi \rho o{\beta _{\vec \beta }}\overrightarrow \alpha   = \frac{{\vec \beta  \cdot \vec \alpha }}{{{{\left| {\vec \beta } \right|}^2}}} \cdot \vec \beta \,\,\,\left( 2 \right)

Όμοια βρίσκουμε, \pi \rho o{\beta _{\vec \alpha }}\overrightarrow \beta   = \frac{{\vec \beta  \cdot \vec \alpha }}{{{{\left| {\vec \alpha } \right|}^2}}} \cdot \vec \alpha \,\,\,\left( 3 \right)

Η σχέση (2) γίνεται από τα δεδομένα:

\pi \rho o{\beta _{\vec \beta }}\overrightarrow \alpha   = \frac{{\vec \beta  \cdot \vec \alpha }}{{{{\left| {\vec \beta } \right|}^2}}} \cdot \vec \beta  \Rightarrow  - 2\vec \beta  = \frac{{\vec \beta  \cdot \vec \alpha }}{{{{\left| {\vec \beta } \right|}^2}}} \cdot \vec \beta  \Rightarrow 2\left| {\vec \beta } \right| = \frac{{\left| {\vec \beta  \cdot \vec \alpha } \right|}}{{{{\left| {\vec \beta } \right|}^2}}} \cdot \left| {\vec \beta } \right| \Rightarrow 2{\left| {\vec \beta } \right|^2} = \left| {\vec \beta  \cdot \vec \alpha } \right|\,\,\,\left( 4 \right)

Η σχέση (3) γίνεται από τα δεδομένα:

\pi \rho o{\beta _{\vec \alpha }}\overrightarrow \beta   = \frac{{\vec \beta  \cdot \vec \alpha }}{{{{\left| {\vec \alpha } \right|}^2}}} \cdot \vec \alpha  \Rightarrow  - \frac{1}{4}\vec \alpha  = \frac{{\vec \beta  \cdot \vec \alpha }}{{{{\left| {\vec \alpha } \right|}^2}}} \cdot \vec \alpha  \Rightarrow \frac{1}{4}\left| {\vec \alpha } \right| = \frac{{\left| {\vec \beta  \cdot \vec \alpha } \right|}}{{{{\left| {\vec \alpha } \right|}^2}}} \cdot \left| {\vec \alpha } \right| \Rightarrow \frac{1}{4}{\left| {\vec \alpha } \right|^2} = \left| {\vec \beta  \cdot \vec \alpha } \right|\,\,\,\left( 5 \right)

Από (4) και (5) παίρνουμε:

2{\left| {\vec \beta } \right|^2} = \frac{1}{4}{\left| {\vec \alpha } \right|^2} \Rightarrow {\left| {\vec \alpha } \right|^2} = 8{\left| {\vec \beta } \right|^2} \Rightarrow \left| {\vec \alpha } \right| = 2\sqrt 2  \cdot \left| {\vec \beta } \right|

β) Η σχέση (4) γίνεται:

\begin{array}{l}
 \pi \rho o{\beta _{\vec \beta }}\overrightarrow \alpha   = \frac{{\vec \beta  \cdot \vec \alpha }}{{{{\left| {\vec \beta } \right|}^2}}} \cdot \vec \beta  \Rightarrow  - 2\vec \beta  = \frac{{\left| {\vec \beta } \right| \cdot \left| {\vec \alpha } \right| \cdot \sigma \upsilon \nu \varphi }}{{{{\left| {\vec \beta } \right|}^2}}} \cdot \vec \beta  \Rightarrow  \\ 
  \Rightarrow  - 2\vec \beta  = \frac{{\left| {\vec \beta } \right| \cdot \left| {\vec \beta } \right|2\sqrt 2  \cdot \sigma \upsilon \nu \varphi }}{{{{\left| {\vec \beta } \right|}^2}}} \cdot \vec \beta  \\ 
  \Rightarrow  - 2\vec \beta  = 2\sqrt 2  \cdot \sigma \upsilon \nu \varphi  \cdot \vec \beta  \\ 
 \mathop  \Rightarrow \limits^{\vec \beta  \ne \vec 0}  - 2 = 2\sqrt 2  \cdot \sigma \upsilon \nu \varphi  \\ 
  \Rightarrow \sigma \upsilon \nu \varphi  = \frac{{ - \sqrt 2 }}{2} \\ 
 \mathop  \Rightarrow \limits^{\varphi  \in \left[ {0,2\pi } \right]} \varphi  = \pi  - \frac{\pi }{4} \\ 
  \Rightarrow \varphi  = \frac{{3\pi }}{4} \\ 
 \end{array}


(1) verba volant, scripta manent = τα λόγια πετούν, τα γραπτά μένουν
Εικόνα
Άβαταρ μέλους
Γιώργος Απόκης
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 5036
Εγγραφή: Δευ Μάιος 16, 2011 7:56 pm
Τοποθεσία: Πάτρα
Επικοινωνία:

Re: συλλογή ασκήσεων Β Λυκείου (κατεύθυνση)

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #5 από Γιώργος Απόκης » Παρ Φεβ 10, 2012 10:27 pm

Τηλέγραφος Κώστας έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 2
Έστω τα μη μηδενικά διανύσματα \displaystyle{\vec{\alpha },\vec{\beta }} με \displaystyle{\pi \rho o{{\beta }_{{\vec{\beta }}}}\vec{\alpha }=-2\vec{\beta }} και \displaystyle{\pi \rho o{{\beta }_{{\vec{\alpha }}}}\vec{\beta }=-\frac{1}{4}\vec{\alpha }}

α)Δείξτε ότι \displaystyle{\left| {\vec{\alpha }} \right|=2\sqrt{2}\left| {\vec{\beta }} \right|}

β) Βρείτε την \displaystyle{\left( \overset{\wedge }{\mathop{\vec{\alpha },\vec{\beta }}}\, \right)}


Mε πρόλαβε ο Μάκης, δίνω μια άλλη λύση:

α) Πολλαπλασιάζουμε τις σχέσεις εσωτερικά με \vec{\beta} και \vec{\alpha} αντίστοιχα και έχουμε:

\displaystyle{\vec{\beta}\cdot \pi \rho o{{\beta }_{{\vec{\beta }}}}\vec{\alpha }=-2\vec{\beta }^2\Rightarrow \vec{\beta} \cdot \vec{\alpha}}=-2|\vec{\beta}|^2} και

\displaystyle{\vec{\alpha}\cdot \pi \rho o{{\beta }_{{\vec{\alpha }}}}\vec{\beta }=-\frac{1}{4}\vec{\alpha }^2\Rightarrow \vec{\beta} \cdot \vec{\alpha}}=-\frac{1}{4}|\vec{\alpha}|^2}. Άρα, \displaystyle{-2|\vec{\beta}|^2=-\frac{1}{4}|\vec{\alpha}|^2\Rightarrow 8{|\vec{\beta}|^2=|\vec{\alpha}|^2\Rightarrow {|\vec{\alpha}|=2\sqrt{2}|\vec{\beta}|}.

β) Αν \phi η ζητούμενη γωνία, είναι \displaystyle{\sigma \upsilon \nu \phi=\frac{\vec{\alpha}\cdot \vec{\beta}}{|\vec{\alpha}||\vec{\beta}|}\overset{a)}=\frac{-2|\vec{\beta }|^2}{2\sqrt{2}|\vec{\beta}||\vec{\beta}|}=-\frac{\sqrt{2}}{2}} άρα \displaystyle{\phi=135^{o}}


Γιώργος
Άβαταρ μέλους
Μάκης Χατζόπουλος
Δημοσιεύσεις: 2456
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 4:13 pm
Τοποθεσία: Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: συλλογή ασκήσεων Β Λυκείου (κατεύθυνση)

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #6 από Μάκης Χατζόπουλος » Παρ Φεβ 10, 2012 10:34 pm

ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΤΣΙΠΟΔΑΣ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 1

Αν \displaystyle{\overrightarrow {OA}  + 2\overrightarrow {OB}  - 3\overrightarrow {O\Gamma }  = \overrightarrow 0 } και \displaystyle{
\left| {\overrightarrow {OA} } \right| = \left| {\overrightarrow {OB} } \right| = 1,\left| {\overrightarrow {O\Gamma } } \right| = \frac{{\sqrt 5 }}{3}
}

α. Να δείξετε ότι τα σημεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά.

β. Να βρείτε τη σχετική θέση των Α, Β, Γ .

γ. Να αποδείξετε ότι τα διανύσματα \displaystyle{\overrightarrow {{\rm O}{\rm A}} ,\overrightarrow {{\rm O}{\rm B}} 
} είναι ορθογώνια.

δ. Να αποδείξετε ότι η γωνία των \displaystyle{\overrightarrow {{\rm O}{\rm A}} ,\overrightarrow {{\rm O}\Gamma } 
} είναι οξεία.


Λύση

α) Αναλύουμε τα διανύσματα στην κορυφή A, δηλαδή,

\begin{array}{l}
 \overrightarrow {OA}  + 2\overrightarrow {OB}  - 3\overrightarrow {O\Gamma }  = \vec 0 \Leftrightarrow \overrightarrow {OA}  + 2\overrightarrow {O{\rm A}}  + 2\overrightarrow {{\rm A}{\rm B}}  - 3\overrightarrow {O{\rm A}}  - 3\overrightarrow {{\rm A}\Gamma }  = \vec 0 \\ 
  \Leftrightarrow \overrightarrow {{\rm A}{\rm B}}  = \frac{3}{2} \cdot \overrightarrow {{\rm A}\Gamma }  \\ 
 \end{array}

άρα \overrightarrow {{\rm A}{\rm B}} //\overrightarrow {{\rm A}\Gamma } και επειδή η κορυφή A είναι κοινή τα σημεία {\rm A},{\rm B},\Gamma είναι συνευθειακά.

β) Επειδή, \overrightarrow {{\rm A}{\rm B}}  = \lambda  \cdot \overrightarrow {{\rm A}\Gamma } ,\,\,\,\,\lambda  = \frac{3}{2} > 1 καταλαβαίνουμε ότι το σημείο \Gamma βρίσκεται μεταξύ των σημείων {\rm A},{\rm B}

γ) Η δεδομένη σχέση γίνεται,

\begin{array}{l}
 \overrightarrow {OA}  + 2\overrightarrow {OB}  - 3\overrightarrow {O\Gamma }  = \vec 0 \Rightarrow \overrightarrow {OA}  + 2\overrightarrow {OB}  = 3\overrightarrow {O\Gamma }  \\ 
  \Rightarrow \left| {\overrightarrow {OA}  + 2\overrightarrow {OB} } \right| = 3\left| {\overrightarrow {O\Gamma } } \right| \\ 
  \Rightarrow {\left| {\overrightarrow {OA}  + 2\overrightarrow {OB} } \right|^2} = {\sqrt 5 ^2} \\ 
  \Rightarrow {\overrightarrow {OA} ^2} + 4{\overrightarrow {OB} ^2} + 4\overrightarrow {OA}  \cdot \overrightarrow {O{\rm B}}  = 5 \\ 
  \Rightarrow {\left| {\overrightarrow {OA} } \right|^2} + 4{\left| {\overrightarrow {OB} } \right|^2} + 4\overrightarrow {OA}  \cdot \overrightarrow {O{\rm B}}  = 5 \\ 
  \Rightarrow 1 + 4 + 4\overrightarrow {OA}  \cdot \overrightarrow {O{\rm B}}  = 5 \\ 
  \Rightarrow \overrightarrow {OA}  \cdot \overrightarrow {O{\rm B}}  = 0 \\ 
 \mathop  \Rightarrow \limits_{\overrightarrow {O{\rm B}}  \ne \vec 0}^{\overrightarrow {OA}  \ne \vec 0} \overrightarrow {OA}  \bot \overrightarrow {O{\rm B}}  \\ 
 \end{array}


δ) Ανάλογα έχουμε,

\begin{array}{l}
 \overrightarrow {OA}  + 2\overrightarrow {OB}  - 3\overrightarrow {O\Gamma }  = \vec 0 \Rightarrow 2\overrightarrow {OB}  = 3\overrightarrow {O\Gamma }  - \overrightarrow {OA}  \\ 
  \Rightarrow 2 \cdot \left| {\overrightarrow {OB} } \right| = \left| {3\overrightarrow {O\Gamma }  - \overrightarrow {OA} } \right| \\ 
  \Rightarrow 4 \cdot {\left| {\overrightarrow {OB} } \right|^2} = {\left| {3\overrightarrow {O\Gamma }  - \overrightarrow {OA} } \right|^2} \\ 
  \Rightarrow 4 = 9 \cdot {\left| {\overrightarrow {O\Gamma } } \right|^2} - 6 \cdot \overrightarrow {O\Gamma }  \cdot \overrightarrow {OA}  + {\left| {\overrightarrow {OA} } \right|^2} \\ 
  \Rightarrow 4 = 5 - 6 \cdot \overrightarrow {O\Gamma }  \cdot \overrightarrow {OA}  + 1 \\ 
  \Rightarrow \overrightarrow {O\Gamma }  \cdot \overrightarrow {OA}  = \frac{1}{3} > 0 \\ 
  \Rightarrow 0 < \mathop {\left( {\overrightarrow {O\Gamma } ,\overrightarrow {OA} } \right)}\limits^ \wedge   < \frac{\pi }{2} \\ 
 \end{array}
τελευταία επεξεργασία από Μάκης Χατζόπουλος σε Παρ Φεβ 10, 2012 10:41 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


(1) verba volant, scripta manent = τα λόγια πετούν, τα γραπτά μένουν
Εικόνα
Άβαταρ μέλους
Μάκης Χατζόπουλος
Δημοσιεύσεις: 2456
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 4:13 pm
Τοποθεσία: Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: συλλογή ασκήσεων Β Λυκείου (κατεύθυνση)

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #7 από Μάκης Χατζόπουλος » Παρ Φεβ 10, 2012 10:37 pm

Γιώργος Απόκης έγραψε:
Τηλέγραφος Κώστας έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 2
Έστω τα μη μηδενικά διανύσματα \displaystyle{\vec{\alpha },\vec{\beta }} με \displaystyle{\pi \rho o{{\beta }_{{\vec{\beta }}}}\vec{\alpha }=-2\vec{\beta }} και \displaystyle{\pi \rho o{{\beta }_{{\vec{\alpha }}}}\vec{\beta }=-\frac{1}{4}\vec{\alpha }}

α)Δείξτε ότι \displaystyle{\left| {\vec{\alpha }} \right|=2\sqrt{2}\left| {\vec{\beta }} \right|}

β) Βρείτε την \displaystyle{\left( \overset{\wedge }{\mathop{\vec{\alpha },\vec{\beta }}}\, \right)}


Mε πρόλαβε ο Μάκης, δίνω μια άλλη λύση:

α) Πολλαπλασιάζουμε τις σχέσεις εσωτερικά με \vec{\beta} και \vec{\alpha} αντίστοιχα και έχουμε:

\displaystyle{\vec{\beta}\cdot \pi \rho o{{\beta }_{{\vec{\beta }}}}\vec{\alpha }=-2\vec{\beta }^2\Rightarrow \vec{\beta} \cdot \vec{\alpha}}=-2|\vec{\beta}|^2} και

\displaystyle{\vec{\alpha}\cdot \pi \rho o{{\beta }_{{\vec{\alpha }}}}\vec{\beta }=-\frac{1}{4}\vec{\alpha }^2\Rightarrow \vec{\beta} \cdot \vec{\alpha}}=-\frac{1}{4}|\vec{\alpha}|^2}. Άρα, \displaystyle{-2|\vec{\beta}|^2=-\frac{1}{4}|\vec{\alpha}|^2\Rightarrow 8{|\vec{\beta}|^2=|\vec{\alpha}|^2\Rightarrow {|\vec{\alpha}|=2\sqrt{2}|\vec{\beta}|}.

β) Αν \phi η ζητούμενη γωνία, είναι \displaystyle{\sigma \upsilon \nu \phi=\frac{\vec{\alpha}\cdot \vec{\beta}}{|\vec{\alpha}||\vec{\beta}|}\overset{a)}=\frac{-2|\vec{\beta }|^2}{2\sqrt{2}|\vec{\beta}||\vec{\beta}|}=-\frac{\sqrt{2}}{2}} άρα \displaystyle{\phi=135^{o}}

Γιώργο εννοείται ότι κρατάμε την λύση σου!


(1) verba volant, scripta manent = τα λόγια πετούν, τα γραπτά μένουν
Εικόνα
Άβαταρ μέλους
chris_gatos
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6740
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:03 pm
Τοποθεσία: Πειραιάς

Re: συλλογή ασκήσεων Β Λυκείου (κατεύθυνση)

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #8 από chris_gatos » Παρ Φεβ 10, 2012 10:49 pm

ΑΣΚΗΣΗ 3

Έστωσαν τα μη μηδενικά και συνεπίπεδα διανύσματα \displaystyle{
\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c 
} με τα \displaystyle{\overrightarrow b ,\overrightarrow c 
} να έχουν το ίδιο μέτρο και να είναι κάθετα.
Να δείξετε ότι ισχύει η σχέση:
\displaystyle{
|\overrightarrow a |^2 |\overrightarrow b |^2  = (\overrightarrow a  \cdot \overrightarrow b )^2  + (\overrightarrow a  \cdot \overrightarrow c )^2 
}

Ξέρω έχει ένα ερώτημα, αλλά είναι καλούλα!


Χρήστος Κυριαζής
Άβαταρ μέλους
Γιώργος Απόκης
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 5036
Εγγραφή: Δευ Μάιος 16, 2011 7:56 pm
Τοποθεσία: Πάτρα
Επικοινωνία:

Re: συλλογή ασκήσεων Β Λυκείου (κατεύθυνση)

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #9 από Γιώργος Απόκης » Παρ Φεβ 10, 2012 10:49 pm

Μια ιδέα - πρόταση : αν συμφωνούν οι συμμετέχοντες, να χρησιμοποιούμε όσο είναι δυνατόν λατινικούς χαρακτήρες

για τα σημεία και τα διανύσματα... (Για ευκολία φυσικά στο Latex)


Γιώργος
Άβαταρ μέλους
Μάκης Χατζόπουλος
Δημοσιεύσεις: 2456
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 4:13 pm
Τοποθεσία: Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: συλλογή ασκήσεων Β Λυκείου (κατεύθυνση)

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #10 από Μάκης Χατζόπουλος » Παρ Φεβ 10, 2012 11:01 pm

chris_gatos έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 3

Έστωσαν τα μη μηδενικά και συνεπίπεδα διανύσματα \displaystyle{
\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c 
} με τα \displaystyle{\overrightarrow b ,\overrightarrow c 
} να έχουν το ίδιο μέτρο και να είναι κάθετα.
Να δείξετε ότι ισχύει η σχέση:
\displaystyle{
|\overrightarrow a |^2 |\overrightarrow b |^2  = (\overrightarrow a  \cdot \overrightarrow b )^2  + (\overrightarrow a  \cdot \overrightarrow c )^2 
}

Ξέρω έχει ένα ερώτημα, αλλά είναι καλούλα!


Λύση

Έχουμε ισοδύναμα από την ζητούμενη σχέση:

\begin{array}{l}
 |\vec a{|^2}|\vec b{|^2} = {(\vec a\cdot\vec b)^2} + {(\vec a\cdot\vec c)^2} \Leftrightarrow |\vec a{|^2}|\vec b{|^2} = {\left| {\vec a} \right|^2} \cdot {\left| {\vec b} \right|^2}\sigma \upsilon {\nu ^2}\mathop {\left( {\vec a,\vec b} \right)}\limits^ \wedge   + {\left| {\vec a} \right|^2} \cdot {\left| {\vec c} \right|^2}\sigma \upsilon {\nu ^2}\mathop {\left( {\vec a,\vec c} \right)}\limits^ \wedge   \\ 
 \mathop  \Leftrightarrow \limits^{\left| {\vec a} \right| \ne 0} |\vec b{|^2} = {\left| {\vec b} \right|^2}\sigma \upsilon {\nu ^2}\mathop {\left( {\vec a,\vec b} \right)}\limits^ \wedge   + {\left| {\vec c} \right|^2}\sigma \upsilon {\nu ^2}\mathop {\left( {\vec a,\vec c} \right)}\limits^ \wedge   \\ 
  \Leftrightarrow |\vec b{|^2} - {\left| {\vec b} \right|^2}\sigma \upsilon {\nu ^2}\mathop {\left( {\vec a,\vec b} \right)}\limits^ \wedge   = {\left| {\vec c} \right|^2}\sigma \upsilon {\nu ^2}\mathop {\left( {\vec a,\vec c} \right)}\limits^ \wedge   \\ 
 \end{array}
\begin{array}{l}
  \Leftrightarrow |\vec b{|^2} \cdot \left( {1 - \sigma \upsilon {\nu ^2}\mathop {\left( {\vec a,\vec b} \right)}\limits^ \wedge  } \right) = {\left| {\vec c} \right|^2}\sigma \upsilon {\nu ^2}\mathop {\left( {\vec a,\vec c} \right)}\limits^ \wedge   \\ 
  \Leftrightarrow |\vec b{|^2} \cdot \eta {\mu ^2}\mathop {\left( {\vec a,\vec b} \right)}\limits^ \wedge   = {\left| {\vec c} \right|^2}\sigma \upsilon {\nu ^2}\left( {\frac{{3\pi }}{2} - \mathop {\left( {\vec a,\vec b} \right)}\limits^ \wedge  } \right) \\ 
  \Leftrightarrow |\vec b{|^2} \cdot \eta {\mu ^2}\mathop {\left( {\vec a,\vec b} \right)}\limits^ \wedge   = {\left| {\vec c} \right|^2} \cdot \eta {\mu ^2}\mathop {\left( {\vec a,\vec b} \right)}\limits^ \wedge   \\ 
 \end{array}

που ισχύει, αφού \left| {\vec b} \right| = \left| {\vec c} \right| και για τα συνεπίπεδα διανύσματα ισχύει:

\begin{array}{l}
 \mathop {\left( {\vec a,\vec b} \right)}\limits^ \wedge   + \mathop {\left( {\vec a,\vec c} \right)}\limits^ \wedge   + \mathop {\left( {\vec b,\vec c} \right)}\limits^ \wedge   = 2\pi  \Leftrightarrow \mathop {\left( {\vec a,\vec b} \right)}\limits^ \wedge   + \mathop {\left( {\vec a,\vec c} \right)}\limits^ \wedge   + \frac{\pi }{2} = 2\pi  \\ 
  \Leftrightarrow \mathop {\left( {\vec a,\vec c} \right)}\limits^ \wedge   = 2\pi  - \frac{\pi }{2} - \mathop {\left( {\vec a,\vec b} \right)}\limits^ \wedge   \\ 
  \Leftrightarrow \mathop {\left( {\vec a,\vec c} \right)}\limits^ \wedge   = \frac{{3\pi }}{2} - \mathop {\left( {\vec a,\vec b} \right)}\limits^ \wedge   \\ 
 \end{array}


(1) verba volant, scripta manent = τα λόγια πετούν, τα γραπτά μένουν
Εικόνα
Άβαταρ μέλους
Μάκης Χατζόπουλος
Δημοσιεύσεις: 2456
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 4:13 pm
Τοποθεσία: Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: συλλογή ασκήσεων Β Λυκείου (κατεύθυνση)

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #11 από Μάκης Χατζόπουλος » Παρ Φεβ 10, 2012 11:12 pm

Άσκηση 4

(Α) Έστω δύο διανύσματα \vec a,\vec b του επιπέδου, να αποδειχτεί ότι: \vec a \cdot \vec b \le \left| {\vec a} \right| \cdot \left| {\vec b} \right| (λύνεται απλά και με την εφαρμογή του βιβλίου αλλά καλύτερα να δοθεί πλήρης λύση)

(Β)Έστω η συνάρτηση f\left( x \right) = \sqrt {x + 7}  + \sqrt {11 - x}. Με την βοήθεια του εσωτερικού γινομένου δύο διανυσμάτων, να βρείτε τη μέγιστη τιμή της f

Αντώνης (Κώστας) Κυριακόπουλος - Βιβλίο κατεύθυνσης Β΄ Λυκείου

Σημείωση:
1. Μιας και ξεκινήσαμε και με λίγα ερωτήματα έδωσα την παραπάνω άσκηση, είναι διαφορετική από αυτές που είδαμε
2. Την πηγή θα την προσθέσω μετά...
τελευταία επεξεργασία από Μάκης Χατζόπουλος σε Σάβ Φεβ 11, 2012 11:21 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


(1) verba volant, scripta manent = τα λόγια πετούν, τα γραπτά μένουν
Εικόνα
Άβαταρ μέλους
hlkampel
Δημοσιεύσεις: 929
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 20, 2008 11:41 pm
Τοποθεσία: Τρίκαλα

Re: συλλογή ασκήσεων Β Λυκείου (κατεύθυνση)

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #12 από hlkampel » Παρ Φεβ 10, 2012 11:25 pm

ΑΣΚΗΣΗ 5

Δίνονται τα μη μηδενικά διανύσματα \vec a και \vec b για τα οποία ισχύουν οι σχέσεις \mathop {\left( {\vec a,\;\vec a + 2\vec b} \right)}\limits^ \wedge   = \frac{\pi }{3} και \left| {\vec a + 2\vec b} \right| = 2\left| {\vec a} \right|.

α. Να αποδείξετε ότι \vec a \bot \vec b.

β. Να αποδείξετε ότι \left| {\vec b} \right| = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\left| {\vec a} \right|

γ. Αν για το διάνυσμα \vec c ισχύει \vec a \cdot \left( {4\vec c - \vec a} \right) = 4{\vec b^2} + {\vec c^2}, να δείξετε ότι \vec a \nearrow  \nearrow \vec c

Edit: Έγινε διόρθωση στο τελευταίο πρόσημο. Ευχαριστω τον Μάκη Χατζόπουλο για την ειδοποίηση.
τελευταία επεξεργασία από hlkampel σε Σάβ Φεβ 11, 2012 12:30 am, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.


Ηλίας Καμπελής
Άβαταρ μέλους
hlkampel
Δημοσιεύσεις: 929
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 20, 2008 11:41 pm
Τοποθεσία: Τρίκαλα

Re: συλλογή ασκήσεων Β Λυκείου (κατεύθυνση)

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #13 από hlkampel » Παρ Φεβ 10, 2012 11:57 pm

Μάκης Χατζόπουλος έγραψε:Άσκηση 4

(Α) Έστω δύο διανύσματα \vec a,\vec b του επιπέδου, να αποδειχτεί ότι: \vec a \cdot \vec b \le \left| {\vec a} \right| \cdot \left| {\vec b} \right| (λύνεται απλά και με την εφαρμογή του βιβλίου αλλά καλύτερα να δοθεί πλήρης λύση)

(Β)Έστω η συνάρτηση f\left( x \right) = \sqrt {x + 7}  + \sqrt {11 - x}. Με την βοήθεια του εσωτερικού γινομένου δύο διανυσμάτων, να βρείτε τη μέγιστη τιμή της f

Σημείωση:
1. Μιας και ξεκινήσαμε και με λίγα ερωτήματα έδωσα την παραπάνω άσκηση, είναι διαφορετική από αυτές που είδαμε
2. Την πηγή θα την προσθέσω μετά...


Α. Αν \vec a = \vec 0 ή \vec b = \vec 0 τότε ισχύει η ισότητα.

Αν \vec a \ne \vec 0 και \vec b \ne \vec 0 τότε ισοδύναμα έχουμε:

\vec a \cdot \vec b \le \left| {\vec a} \right| \cdot \left| {\vec b} \right| \Leftrightarrow \left| {\vec a} \right| \cdot \left| {\vec b} \right|\sigma \upsilon \nu \varphi  \le \left| {\vec a} \right| \cdot \left| {\vec b} \right| \Leftrightarrow \sigma \upsilon \nu \varphi  \le 1 (*) το οποίο ισχύει.

Το ίσον ισχύει αν \sigma \upsilon \nu \varphi  = 1 \Leftrightarrow \hat \varphi  = 0^\circ δηλαδή αν \vec a \nearrow  \nearrow \vec b

(*) \hat \varphi  = \mathop {\left( {\vec a,\vec b} \right)}\limits^ \wedge

Β. Έστω τα διανύσματα \vec a = \left( {\sqrt {x + 7} ,\;\sqrt {11 - x} } \right) και \vec b = \left( {1,\;1} \right) με - 7 \le x \le 11

Είναι \left| {\vec a} \right| = \sqrt {x + 7 + 11 - x}  \Leftrightarrow \left| {\vec a} \right| = 3\sqrt 2 και \left| {\vec b} \right| = \sqrt 2

\vec a \cdot \vec b = \sqrt {x + 7}  + \sqrt {11 - x}  \Rightarrow \vec a \cdot \vec b = f(x)

Από Α ερώτημα είναι
\vec a \cdot \vec b \le \left| {\vec a} \right| \cdot \left| {\vec b} \right| \Leftrightarrow f(x) \le 3\sqrt 2  \cdot \sqrt 2  \Leftrightarrow f(x) \le 6

Άρα η μέγιστη τιμή της f είναι το 6 η οποία επιτυγχάνεται αν x = 2


Ηλίας Καμπελής
Άβαταρ μέλους
Μάκης Χατζόπουλος
Δημοσιεύσεις: 2456
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 4:13 pm
Τοποθεσία: Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: συλλογή ασκήσεων Β Λυκείου (κατεύθυνση)

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #14 από Μάκης Χατζόπουλος » Σάβ Φεβ 11, 2012 12:59 am

hlkampel έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 5

Δίνονται τα μη μηδενικά διανύσματα \vec a και \vec b για τα οποία ισχύουν οι σχέσεις \mathop {\left( {\vec a,\;\vec a + 2\vec b} \right)}\limits^ \wedge   = \frac{\pi }{3} και \left| {\vec a + 2\vec b} \right| = 2\left| {\vec a} \right|.

α. Να αποδείξετε ότι \vec a \bot \vec b.

β. Να αποδείξετε ότι \left| {\vec b} \right| = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\left| {\vec a} \right|

γ. Αν για το διάνυσμα \vec c ισχύει \vec a \cdot \left( {4\vec c - \vec a} \right) = 4{\vec b^2} - {\vec c^2}, να δείξετε ότι \vec a \nearrow  \nearrow \vec c

α) Έχουμε,

\begin{array}{l}
 \vec a \cdot \left( {\vec a + 2\vec b} \right) = \left| {\vec a} \right| \cdot \left| {\vec a + 2\vec b} \right| \cdot \sigma \upsilon \nu \frac{\pi }{3} \Leftrightarrow  \\ 
  \Leftrightarrow {{\vec a}^2} + 2\vec a \cdot \vec b = \left| {\vec a} \right| \cdot 2 \cdot \left| {\vec a} \right| \cdot \frac{1}{2} \\ 
  \Leftrightarrow {{\vec a}^2} + 2\vec a \cdot \vec b = {{\vec a}^2} \\ 
  \Leftrightarrow \vec a \cdot \vec b = 0 \\ 
 \mathop  \Leftrightarrow \limits_{\vec b \ne \vec 0}^{\vec a \ne \vec 0} \vec a \bot \vec b \\ 
 \end{array}

β) Παίρνουμε την δεδομένη σχέση και έχουμε ισοδύναμα,

\begin{array}{l}
 \left| {\vec a + 2\vec b} \right| = 2\left| {\vec a} \right| \Leftrightarrow {\left| {\vec a + 2\vec b} \right|^2} = 4{\left| {\vec a} \right|^2} \\ 
  \Leftrightarrow {{\vec a}^2} + 4\vec a\vec b + 4{{\vec b}^2} = 4{{\vec a}^2} \\ 
  \Leftrightarrow 4 \cdot {{\vec b}^2} = 3 \cdot {{\vec a}^2} \\ 
  \Leftrightarrow {\left| {\vec b} \right|^2} = \frac{3}{4} \cdot {\left| {\vec a} \right|^2} \\ 
  \Leftrightarrow \left| {\vec b} \right| = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \cdot \left| {\vec a} \right| \\ 
 \end{array}

γ) Έχουμε,

\begin{array}{l}
 \vec a\cdot\left( {4\vec c - \vec a} \right) = 4{{\vec b}^2} + {{\vec c}^2} \Leftrightarrow 4\vec a\vec c - {{\vec a}^2} = 4{{\vec b}^2} + {{\vec c}^2} \\ 
  \Leftrightarrow 4\vec a\vec c - {{\vec a}^2} = 3{{\vec a}^2} + {{\vec c}^2} \\ 
  \Leftrightarrow 4\vec a\vec c = 4{{\vec a}^2} + {{\vec c}^2} \\ 
  \Leftrightarrow 4{{\vec a}^2} - 4\vec a\vec c + {{\vec c}^2} = 0 \\ 
  \Leftrightarrow {\left( {2\vec a - \vec c} \right)^2} = 0 \\ 
  \Leftrightarrow 2\vec a = \vec c \\ 
  \Leftrightarrow \vec a \uparrow  \uparrow \vec c \\ 
 \end{array}

Σταματάω εδώ, για να δώσουμε την δυνατότητα να συμμετάσχουν και άλλοι..


(1) verba volant, scripta manent = τα λόγια πετούν, τα γραπτά μένουν
Εικόνα
dennys
Δημοσιεύσεις: 1275
Εγγραφή: Τετ Μάιος 05, 2010 11:29 pm
Τοποθεσία: θεσσαλονικη

Re: συλλογή ασκήσεων Β Λυκείου (κατεύθυνση)

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #15 από dennys » Σάβ Φεβ 11, 2012 1:35 am

ΑΣΚΗΣΗ 5

1) Το εσωτερικό γινόμενο των:{(\vec a+2\vec b)}{(\vec a)}={|{\vec a+2\vec b}||{\vec a}|cos( \vec a,\vec a+2\vec b)

(\vec a)^2+{2\vec a}{\vec b}=2|\vec a|^2cos\frac{\pi}{3}=|\veca|^2 \Rightarrow (\vec a)^2+2(\vec a)(\vec b)=(\vec a)^2\Rightarrow \vec a\vec b=0

\vec a \bot \vec b

2)απο την δοσμένη σχέση :|\vec a+ 2\vec b|=2|\vec a| \Rightarrow (\vec a+2 \vec b)^2=4(\vec a)^2

{( \vec a )}^2+4{( \vec a)}{( \vec b)}+4 {( \vec b)}^2=4{( \vec a)}^2 \Rightarrow 4{( \vec b)}^2=3{(\vec a)}^2 \Rightarrow {|\vec b|}={\cfrac{\sqrt{3}}{2}}{|\vec a|}

3)4{ \vec a}{\vec c} -{(\vec a)}^2=4{( \vec b)}^2+ (\vec c)}^2 \Rightarrow 4 {(\vec a)}{(\vec c)}=4{(\vec a)}^2+(\vec c)}^2

{(2{\vec a}-{\vec c})}^2=0 \Rightarrow 2{\vec a}- {\vec c}=\vec 0 \Rightarrow \vec a \nearrow \nearrow \vec c

Φιλικα και μαθηματικα
dennys


Dennys =Ξεκλείδωμα κάθε άσκησης
dennys
Δημοσιεύσεις: 1275
Εγγραφή: Τετ Μάιος 05, 2010 11:29 pm
Τοποθεσία: θεσσαλονικη

Re: συλλογή ασκήσεων Β Λυκείου (κατεύθυνση)

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #16 από dennys » Σάβ Φεβ 11, 2012 1:51 am

ΑΣΚΗΣΗ 6

1) Δινονται τα διανύσματα \vec a, \vec b, \vec c τετοια ωστα |\vec b|=|\vec c|=7,|\vec a|=\sqrt{13}

και 4{ \vec b}+3 {\vec c}=7 {\vec a}.Να βρείτε την γωνία των (\vec b, \vec c)

2)Αν τα 3 διανύσματ α εχουν κοινη αρχή να δείξετε οτι τα περατα τους ειναι συνευθεικά.

3 ) Να βρείτε διανυσμα \vec x και το μετρο του αν \vec x // (2 \vec b+\vec c), (\vec x+ 2 \vec c) \bot \vec b

φιλικα και καληνυχτικά

dennys


Dennys =Ξεκλείδωμα κάθε άσκησης
Άβαταρ μέλους
parmenides51
Δημοσιεύσεις: 6240
Εγγραφή: Πέμ Απρ 23, 2009 9:13 pm
Τοποθεσία: Πεύκη
Επικοινωνία:

Re: συλλογή ασκήσεων Β Λυκείου (κατεύθυνση)

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #17 από parmenides51 » Σάβ Φεβ 11, 2012 3:17 am

ΑΣΚΗΣΗ 7

Για τα σημεία \displaystyle{A,B,C,D} ισχύει ότι 2\overrightarrow {B D}  = 10\overrightarrow {CD}  + 8\overrightarrow { D A}

α. Να αποδείξετε ότι τα σημεία \displaystyle{A,B,C} είναι συνευθειακά

Αν \displaystyle{A (-1,-4), B(4,1), C(0,k-2)} με \displaystyle{k \in \mathbb{R}} :

β. Να βρείτε τον πραγματικό αριθμό \displaystyle{k}

γ. Για \displaystyle{k = -1} , να λύσετε την εξίσωση \overrightarrow {u} \cdot\overrightarrow { BC}  = 0 όπου \overrightarrow {u}   = \left( {x + 2,x - 1} \right) με \displaystyle{x \in \mathbb{R}}

από διαγώνισμα μου


perpant
Δημοσιεύσεις: 441
Εγγραφή: Πέμ Αύγ 11, 2011 2:09 am
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Re: συλλογή ασκήσεων Β Λυκείου (κατεύθυνση)

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #18 από perpant » Σάβ Φεβ 11, 2012 11:59 am

parmenides51 έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 7

Για τα σημεία \displaystyle{A,B,C,D} ισχύει ότι 2\overrightarrow {B D}  = 10\overrightarrow {CD}  + 8\overrightarrow { D A}

α. Να αποδείξετε ότι τα σημεία \displaystyle{A,B,C} είναι συνευθειακά

Αν \displaystyle{A (-1,-4), B(4,1), C(0,k-2)} με \displaystyle{k \in \mathbb{R}} :

β. Να βρείτε τον πραγματικό αριθμό \displaystyle{k}

γ. Για \displaystyle{k = -1} , να λύσετε την εξίσωση \overrightarrow {u} \cdot\overrightarrow { BC}  = 0 όπου \overrightarrow {u}   = \left( {x + 2,x - 1} \right) με \displaystyle{x \in \mathbb{R}}

από διαγώνισμα μου


α) Επιλέγω το \displaystyle{A} ως σημείο αναφοράς και έχω \displaystyle{2\overrightarrow {BD}  = 10\overrightarrow {CD}  + 8\overrightarrow {DA}  \Leftrightarrow 2\left( {\overrightarrow {AD}  - \overrightarrow {AB} } \right) = 10\left( {\overrightarrow {AD}  - \overrightarrow {AC} } \right) - 8\overrightarrow {AD} }\displaystyle{
 \Leftrightarrow 2\overrightarrow {AD}  - 2\overrightarrow {AB}  = 10\overrightarrow {AD}  - 10\overrightarrow {AC}  - 8\overrightarrow {AD}  \Leftrightarrow \overrightarrow {AB}  = 5\overrightarrow {AC}  \Leftrightarrow \overrightarrow {AB} //\overrightarrow {AC} }. Αφού έχουν κοινή αρχή, θα έχουν και κοινό φορέα και συνεπώς τα \displaystyle{A,B,C} συνευθειακά.

β) Έχουμε \displaystyle{\overrightarrow {AB}  = 5\overrightarrow {AC}  \Leftrightarrow \left( {5,5} \right) = 5\left( {1,k + 2} \right) \Leftrightarrow \left( {5,5} \right) = \left( {5,5k + 10} \right) \Rightarrow k =  - 1}

γ) Για \displaystyle{k =  - 1} έχουμε \displaystyle{C\left( {0, - 3} \right)} και \displaystyle{\overrightarrow {BC}  = \left( { - 4, - 4} \right)}. Τότε \displaystyle{\overrightarrow {u \cdot } \overrightarrow {BC}  = 0 \Leftrightarrow \left( {x + 2,x - 1} \right)\left( { - 4, - 4} \right) = 0 \Leftrightarrow  - 4\left( {x + 2} \right) - 4\left( {x - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow x =  - \frac{1}{2}}


Παντούλας Περικλής
Άβαταρ μέλους
parmenides51
Δημοσιεύσεις: 6240
Εγγραφή: Πέμ Απρ 23, 2009 9:13 pm
Τοποθεσία: Πεύκη
Επικοινωνία:

Re: συλλογή ασκήσεων Β Λυκείου (κατεύθυνση)

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #19 από parmenides51 » Σάβ Φεβ 11, 2012 1:26 pm

ΑΣΚΗΣΗ 8

Δίνεται το παραλληλόγραμμο \displaystyle{ABCD} με \overrightarrow {AC }  = 8\overrightarrow {u}   + \overrightarrow {v} και \overrightarrow {BD }  = 4\overrightarrow {u}  + 7\overrightarrow {v} οπού \overrightarrow {u}  ,\overrightarrow {v} μη μηδενικά και μη συγγραμικά διανύσματα ίσων μέτρων.

α. Να αποδείξετε ότι \overrightarrow {AB}  = 2\overrightarrow {u}   - 3\overrightarrow {v} και \overrightarrow {AD }  = 6\overrightarrow {u}   + 4\overrightarrow {v}

β. Αν το τετράπλευρο \displaystyle{ABCD} είναι ορθογώνιο, να δείξετε ότι τα διανύσματα \overrightarrow {u}  ,\overrightarrow {v} είναι κάθετα

γ. Αν \left| {\overrightarrow {u}  } \right| = 4 και \widehat {\left( {\overrightarrow {u}  ,\overrightarrow {v}   } \right)} = \displaystyle\frac{\pi }{3} , να υπολογίσετε την απόσταση \displaystyle{AM}, όπου \displaystyle{M} μέσο της \displaystyle{BC}


από διαγώνισμα πάλι


Άβαταρ μέλους
hlkampel
Δημοσιεύσεις: 929
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 20, 2008 11:41 pm
Τοποθεσία: Τρίκαλα

Re: συλλογή ασκήσεων Β Λυκείου (κατεύθυνση)

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #20 από hlkampel » Σάβ Φεβ 11, 2012 3:45 pm

parmenides51 έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 8

Δίνεται το παραλληλόγραμμο \displaystyle{ABCD} με \overrightarrow {AC }  = 8\overrightarrow {u}   + \overrightarrow {v} και \overrightarrow {BD }  = 4\overrightarrow {u}  + 7\overrightarrow {v} οπού \overrightarrow {u}  ,\overrightarrow {v} μη μηδενικά και μη συγγραμικά διανύσματα ίσων μέτρων.

α. Να αποδείξετε ότι \overrightarrow {AB}  = 2\overrightarrow {u}   - 3\overrightarrow {v} και \overrightarrow {AD }  = 6\overrightarrow {u}   + 4\overrightarrow {v}

β. Αν το τετράπλευρο \displaystyle{ABCD} είναι ορθογώνιο, να δείξετε ότι τα διανύσματα \overrightarrow {u}  ,\overrightarrow {v} είναι κάθετα

γ. Αν \left| {\overrightarrow {u}  } \right| = 4 και \widehat {\left( {\overrightarrow {u}  ,\overrightarrow {v}   } \right)} = \displaystyle\frac{\pi }{3} , να υπολογίσετε την απόσταση \displaystyle{AM}, όπου \displaystyle{M} μέσο της \displaystyle{BC}


α. Αν O είναι το κέντρο του παραλληλογράμμου τότε:

\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {AO}  + \overrightarrow {OB}  \Leftrightarrow \overrightarrow {AB}  = \frac{1}{2}\overrightarrow {AC}  - \frac{1}{2}\overrightarrow {BD}  \Rightarrow

\overrightarrow {AB}  = 4\overrightarrow u  + \frac{1}{2}\overrightarrow \upsilon   - 2\overrightarrow u  - \frac{7}{2}\overrightarrow \upsilon   \Rightarrow

\overrightarrow {AB}  = 2\overrightarrow u  - 3\overrightarrow \upsilon

\overrightarrow {AD}  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BD}  \Rightarrow \overrightarrow {AD}  = 2\overrightarrow u  - 3\overrightarrow \upsilon   + 4\overrightarrow u  + 7\overrightarrow \upsilon   \Rightarrow

\overrightarrow {AD}  = 6\overrightarrow u  + 4\overrightarrow \upsilon

β. Αφού το ABCD είναι ορθογώνιο, τότε:

\displaystyle{\overrightarrow {AB}  \bot \overrightarrow {AD}  \Leftrightarrow \left( {2\overrightarrow u  - 3\overrightarrow \upsilon  } \right) \cdot \left( {6\overrightarrow u  + 4\overrightarrow \upsilon  } \right) = 0 \Leftrightarrow }

12{\left| {\overrightarrow u } \right|^2} + 8\overrightarrow u  \cdot \overrightarrow \upsilon   - \overrightarrow {12u}  \cdot \overrightarrow \upsilon   - 12{\left| {\overrightarrow \upsilon  } \right|^2} = 0\mathop  \Leftrightarrow \limits^{\left| {\overrightarrow u } \right| = \left| {\overrightarrow \upsilon  } \right|}

- 4\overrightarrow u  \cdot \overrightarrow \upsilon   = 0 \Leftrightarrow \overrightarrow u  \bot \overrightarrow \upsilon γιατί τα \overrightarrow u ,\;\overrightarrow \upsilon είναι μη μηδενικά.

γ. Σύμφωνα με την υπόθεση είναι \displaystyle{\left| {\overrightarrow u } \right| = \left| {\overrightarrow \upsilon  } \right| = 4}

\overrightarrow {AM}  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BM}  \Leftrightarrow \overrightarrow {AM}  = \overrightarrow {AB}  + \frac{1}{2}\overrightarrow {BC} \mathop  \Leftrightarrow \limits^{\overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {AD} } \overrightarrow {AM}  = \overrightarrow {AB}  + \frac{1}{2}\overrightarrow {AD}  \Leftrightarrow

\overrightarrow {AM}  = 2\overrightarrow u  - 3\overrightarrow \upsilon   + 3\overrightarrow u  + 2\overrightarrow \upsilon   \Leftrightarrow \overrightarrow {AM}  = 5\overrightarrow u  - \overrightarrow \upsilon   \Leftrightarrow \left| {\overrightarrow {AM} } \right| = \left| {5\overrightarrow u  - \overrightarrow \upsilon  } \right| \Leftrightarrow

{\left| {\overrightarrow {AM} } \right|^2} = 25{\left| {\overrightarrow u } \right|^2} - 10\overrightarrow u  \cdot \overrightarrow \upsilon   + {\left| {\overrightarrow \upsilon  } \right|^2}\mathop  \Leftrightarrow \limits^{\left| {\overrightarrow u } \right| = \left| {\overrightarrow \upsilon  } \right| = 4}

\displaystyle{{\left| {\overrightarrow {AM} } \right|^2} = 400 - 10\left| {\overrightarrow u } \right|\left| {\overrightarrow \upsilon  } \right|\sigma \upsilon \nu \frac{\pi }{3} + 16 \Leftrightarrow }

{\left| {\overrightarrow {AM} } \right|^2} = 416 - 80 = 336 \Leftrightarrow

\left| {\overrightarrow {AM} } \right| = \sqrt {336}  \Leftrightarrow \left| {\overrightarrow {AM} } \right| = 4\sqrt {21}
Συνημμένα
Παραλληλογραμμο.png
Παραλληλογραμμο.png (27.89 KiB) Προβλήθηκε 10701 φορές


Ηλίας Καμπελής

Επιστροφή σε “ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες