Γεωμετρικός τόπος από έλλειψη

Γιώργος Απόκης · #1

Δίνεται η έλλειψη $\displaystyle{C:\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1}$ και η εφαπτομένη $\epsilon$ στο τυχαίο σημείο της A(x_1,y_1)

. Η κάθετη $\delta$ στην $\epsilon$ στο

τέμνει τους άξονες στα σημεία K,L

. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος του μέσου

του

.

#2

: Γ.τόπος - Έλλειψη.PNG (36.34 KiB) Προβλήθηκε 315 φορές

Γ.τόπος των μέσων τμήματος.ggb: (6.67 KiB) Μεταφορτώθηκε 23 φορές

Θα λύσουμε το πρόβλημα γενικά.
Θεωρούμε δηλαδή την έλλειψη με εξίσωση: $\displaystyle (c): {\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1, a>b>0} \ \ (1)$
Αν ένα τυχαίο σημείο $\displaystyle{A(x_1,y_1)}$ κινείται στην έλλειψη $\displaystyle{(c)}$ τότε:
$\displaystyle {\frac{x_1^2}{a^2}+\frac{y_1^2}{b^2}=1, \ \ (2)$

Ακόμα η εξίσωση της εφαπτομένης $\displaystyle{(e)}$ στο σημείο αυτό θα είναι: $\displaystyle{e:b^2x_1x+a^2y_1y=a^2b^2, \ \ (3)}$
καθώς επίσης και της καθέτου $\displaystyle{d: y-y_1=\frac{a^2y_1}{b^2x_1}(x-x_1), \ \ (4)}$

Τα σημεία τομής της καθέτου αυτής με τους άξονες του συστήματος εύκολα προσδιορίζονται μηδενίζοντας διαδοχικά το $\displaystyle{x}$ και το $\displaystyle{y}$ . Αυά είναι:
$\displaystyle{K(0, y_1-\frac{a^2y_1}{b^2}), \ \ L(x_1-\frac{b^2x_1}{a^2},0), \ \ (5)}$ .

Τελικά οι συντεταγμένες του μέσου $\displaystyle{M}$ του τμήματος $\displaystyle{KL}$ είναι:
$\displaystyle{(x=x_1\frac{a^2-b^2}{2a^2}, \ \ y=y_1\frac{b^2-a^2}{2b^2}})$ εφόσον $\displaystyle{a>b}$ .

Άρα: $\displaystyle{x_1=\frac{2a^2}{a^2-b^2}, \ \ y_1=\frac{2b^2}{b^2-a^2}}$
Οι συντεταγμένες αυτές όμως ικανοποιούν την εξίσωση της έλλειψης και συνεπώς αν αντικατασταθούν στην (1) θα προκύψει:
$\displaystyle \frac{x^2}{(\frac{a^2-b^2}{2a})^2}+\frac{y^2}{(\frac{b^2-a^2}{2b})^2}=1$
η οποίς εκφράζει έλλειψη με μεγάλο άξονα στον άξονα των $\displaystyle{y'y}$ διότι: $\displaystyle{(\frac{b^2-a^2}{2b})^2>(\frac{a^2-b^2}{2a})^2}$

Αν $\displaystyle{a=5, b=3}$ έχουμε τη συγκεκριμένη έλλειψη της άσκησης.

Κώστας Δόρτσιος

Γιώργος Απόκης · #3

Κώστα ευχαριστώ για την ενασχόληση και τη γενίκευση!

Γεωμετρικός τόπος από έλλειψη

Γεωμετρικός τόπος από έλλειψη

Re: Γεωμετρικός τόπος από έλλειψη

Re: Γεωμετρικός τόπος από έλλειψη

Μέλη σε σύνδεση