Και τρίτη εφαπτομένη

KARKAR · #1

Οι εφαπτόμενες σε σημεία

και

της παραβολής με εξίσωση : y^2=2px

, τέμνονται στο σημείο

.

Δείξτε ότι η ευθεία που διέρχεται από τα μέσα M , N

των

αντίστοιχα , είναι κι αυτή εφαπτομένη

της παραβολής . Επιπλέον , αν

είναι το σημείο επαφής , δείξτε ότι η

είναι παράλληλη προς τον xx'

#2

KARKAR έγραψε:Οι εφαπτόμενες σε σημεία και της παραβολής με εξίσωση : , τέμνονται στο σημείο .

Δείξτε ότι η ευθεία που διέρχεται από τα μέσα των αντίστοιχα , είναι κι αυτή εφαπτομένη

της παραβολής . Επιπλέον , αν είναι το σημείο επαφής , δείξτε ότι η είναι παράλληλη προς τον

Έστω $\displaystyle{ S\left( {x_0 ,y_0 } \right) }$ τότε η εξίσωση της πολικής (του) $\displaystyle{ AB }$ ως προς την παραβολή είναι (άσκηση του σχολικού βιβλίου) $\displaystyle{ \boxed{AB:yy_0 = p\left( {x + x_0 } \right)}:\left( 1 \right) }$

Προφανώς επειδή $\displaystyle{ M,N }$ τα μέσα των $\displaystyle{ SA,SB }$ αντίστοιχα θα είναι $\displaystyle{ MN//AB \Rightarrow \boxed{\lambda _{MN} = }\lambda _{AB} = \boxed{\frac{p} {{y_0 }}},y_0 \ne 0 }$

(ευθύγραμμο τμήμα που συνδέει τα μέσα δύο πλευρών τριγώνου)

[attachment=0]1.png[/attachment]

Αν $\displaystyle{ K \equiv AB \cap x'x\mathop \Rightarrow \limits^{yy_0 = p\left( {x + x_0 } \right)\mathop \to \limits^{y = 0} x = - x_0 } K\left( { - x_0 ,0} \right) }$ . Έστω $\displaystyle{ L \equiv SK \cap MN\mathop \Rightarrow \limits^{MN//AB,M,N\,\,\,\mu \varepsilon \sigma \alpha \,\,\tau \omega \nu \,\,SA,SB\,\,\alpha \nu \tau \iota \sigma \tau o\iota \chi \alpha } L }$

το μέσο της $\displaystyle{ SK \Rightarrow L\left( {\frac{{x_0 - x_0 }} {2},\frac{{y_0 + 0}} {2}} \right) \to \boxed{L\left( {0,\frac{{y_0 }} {2}} \right)} }$

Ετσι η ευθεία $\displaystyle{ MN }$ διέρχεται από το $\displaystyle{ L\left( {0,\frac{{y_0 }} {2}} \right) }$ και έχει συντελεστή διεύθυνσης $\displaystyle{ \lambda _{MN} = \frac{p} {{y_0 }} }$ άρα έχει εξίσωση $\displaystyle{ \boxed{y - \frac{{y_0 }} {2} = \frac{p} {{y_0 }}x}:\left( 2 \right) }$

Η λύση του συστήματος των εξισώσεων της $\displaystyle{ MN }$ και της παραβολής δίνει $\displaystyle{ \left\{ \begin{gathered} y^2 = 2px \\ y - \frac{{y_0 }} {2} = \frac{p} {{y_0 }}x \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} \frac{{y^2 }} {2} = px \\ y - \frac{{y_0 }} {2} = \frac{{y^2 }} {{2y_0 }} \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \ldots \left\{ \begin{gathered} \frac{{y^2 }} {2} = px \\ y^2 - 2y_0 + y_0^2 = 0 \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} \frac{{y^2 }} {2} = px \\ \left( {y - y_0 } \right)^2 = 0 \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} \frac{{y^2 }} {2} = px \\ \boxed{y_{\rm T} = y_0 (\delta \iota \pi \lambda \eta )} \\ \end{gathered} \right. }$

Άρα η $\displaystyle{ {\rm M}{\rm N} }$ εφάπτεται της παραβολής (διπλή ρίζα στη δευτεροβάθμια που προέκυψε στο σύστημα) και

μάλιστα η τεταγμένη του σημείου επαφής $\displaystyle{ {\rm T} }$ είναι $\displaystyle{ y_T = y_0 = y_S \Rightarrow ST//x'x }$ και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.

Σημείωση: Στην ειδική περίπτωση που το $\displaystyle{ S \in x'x }$ η απόδειξη είναι απλή ...
Στάθης

#3

KARKAR έγραψε:Οι εφαπτόμενες σε σημεία και της παραβολής με εξίσωση : , τέμνονται στο σημείο .

Δείξτε ότι η ευθεία που διέρχεται από τα μέσα των αντίστοιχα , είναι κι αυτή εφαπτομένη

της παραβολής . Επιπλέον , αν είναι το σημείο επαφής , δείξτε ότι η είναι παράλληλη προς τον

..και το Τ είναι μέσο της ΜΝ.

#4

rek2 έγραψε:
KARKAR έγραψε:Οι εφαπτόμενες σε σημεία και της παραβολής με εξίσωση : , τέμνονται στο σημείο .

Δείξτε ότι η ευθεία που διέρχεται από τα μέσα των αντίστοιχα , είναι κι αυτή εφαπτομένη

της παραβολής . Επιπλέον , αν είναι το σημείο επαφής , δείξτε ότι η είναι παράλληλη προς τον

..και το Τ είναι μέσο της ΜΝ.

Κώστα καλησπέρα. Έχουμε αρκετό καιρό να "συναντηθούμε" και πραγματικά μας λείπεις!!!

: 2.png (39.46 KiB) Προβλήθηκε 548 φορές

Έστω $\displaystyle{ L }$ το μέσο του τμήματος $\displaystyle{ AB }$ τότε η τεταγμένη του $\displaystyle{ L }$ θα είναι το ημιάθροισμα των τεταγμένων των $\displaystyle{ A,B }$ που θα προκύψουν από τη λύση

του συστήματος της εξίσωσης της πολικής $\displaystyle{ AB }$ του $\displaystyle{ S }$ ως προς την παραβολή και της εξίσωσης της παραβολής.

Είναι $\displaystyle{ \left\{ \begin{gathered} y^2 = 2px \\ yy_0 = p\left( {x + x_0 } \right) \\ \end{gathered} \right.\,\, \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} y^2 = 2px \\ 2yy_0 = 2px + 2px_0 \\ \end{gathered} \right.\,\, \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} y^2 = 2px \\ 2yy_0 = y^2 + 2px_0 \\ \end{gathered} \right.\,\, \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} y^2 = 2px \\ \boxed{y^2 - 2y_0 y + 2px_0 = 0}:\left( 1 \right) \\ \end{gathered} \right. }$

Τα $\displaystyle{ y_A ,y_B }$ είναι οι ρίζες της $\displaystyle{ \left( 1 \right) }$ και από Vieta έχουμε: $\displaystyle{ y_A + y_B = - \frac{{ - 2y_0 }} {1}\mathop \Rightarrow \limits^{y_L = \frac{{y_A + y_B }} {2} = y_0 } L \in ST:y = y_0 }$ οπότε από την κεντρική δέσμη

$\displaystyle{ SA,SL,SB }$ που τέμνει τις παράλληλες $\displaystyle{ MN\parallel AB }$ θα είναι και $\displaystyle{ T }$ το μέσο της $\displaystyle{ MN }$ και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.

Στάθης

#5

ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ έγραψε:
rek2 έγραψε:
KARKAR έγραψε:Οι εφαπτόμενες σε σημεία και της παραβολής με εξίσωση : , τέμνονται στο σημείο .

Δείξτε ότι η ευθεία που διέρχεται από τα μέσα των αντίστοιχα , είναι κι αυτή εφαπτομένη

της παραβολής . Επιπλέον , αν είναι το σημείο επαφής , δείξτε ότι η είναι παράλληλη προς τον

..και το Τ είναι μέσο της ΜΝ.
Κώστα καλησπέρα. Έχουμε αρκετό καιρό να "συναντηθούμε" και πραγματικά μας λείπεις!!!

2.png
Έστω $\displaystyle{ L }$ το μέσο του τμήματος $\displaystyle{ AB }$ τότε η τεταγμένη του $\displaystyle{ L }$ θα είναι το ημιάθροισμα των τεταγμένων των $\displaystyle{ A,B }$ που θα προκύψουν από τη λύση

του συστήματος της εξίσωσης της πολικής $\displaystyle{ AB }$ του $\displaystyle{ S }$ ως προς την παραβολή και της εξίσωσης της παραβολής.

Είναι $\displaystyle{ \left\{ \begin{gathered} y^2 = 2px \\ yy_0 = p\left( {x + x_0 } \right) \\ \end{gathered} \right.\,\, \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} y^2 = 2px \\ 2yy_0 = 2px + 2px_0 \\ \end{gathered} \right.\,\, \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} y^2 = 2px \\ 2yy_0 = y^2 + 2px_0 \\ \end{gathered} \right.\,\, \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} y^2 = 2px \\ \boxed{y^2 - 2y_0 y + 2px_0 = 0}:\left( 1 \right) \\ \end{gathered} \right. }$

Τα $\displaystyle{ y_A ,y_B }$ είναι οι ρίζες της $\displaystyle{ \left( 1 \right) }$ και από Vieta έχουμε: $\displaystyle{ y_A + y_B = - \frac{{ - 2y_0 }} {1}\mathop \Rightarrow \limits^{y_L = \frac{{y_A + y_B }} {2} = y_0 } L \in ST:y = y_0 }$ οπότε από την κεντρική δέσμη

$\displaystyle{ SA,SL,SB }$ που τέμνει τις παράλληλες $\displaystyle{ MN\parallel AB }$ θα είναι και $\displaystyle{ T }$ το μέσο της $\displaystyle{ MN }$ και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.

Στάθης

Στάθη, καλησπέρα και από μένα!

Μάλλον γράφω όλο και αραιότερα. Μακάρι να είχα την ταχύτητά σου!

Στο θέμα, τώρα, βλέπω ότι:

Αν SA, SB είναι εφαπτόμενα τμήματα μιας παραβολής και $\frac{SM}{MA}=\frac{\mu }{\nu }$ και $\frac{SN}{NB}=\frac{\nu }{\mu }$ , τότε η ΜΝ εφάπτεται στην παραβολή και μάλιστα σε σημείο Τ, το οποίο τη διαιρεί σε λόγο $\frac{MT}{TN}=\frac{\nu }{\mu }$

Απομένει να ελεγχθεί το εξής: Αν τα Μ.Ν είναι σημεία των εφαπτόμενων τμημάτων SA, SB μιας παραβολής και η ΜΝ εφάπτεται στην παραβολή σε σημείο Τ, τότε τα SA, BS, MN διαιρούνται από τα σε M,N,T σε ίδιο λόγο.

KARKAR · #6

Για την περίπτωση του μέσου , έχουμε δει απάντηση και εδώ

Και τρίτη εφαπτομένη

Και τρίτη εφαπτομένη

Re: Και τρίτη εφαπτομένη

Re: Και τρίτη εφαπτομένη

Re: Και τρίτη εφαπτομένη

Re: Και τρίτη εφαπτομένη

Re: Και τρίτη εφαπτομένη

Μέλη σε σύνδεση