εφαπτόμενοι κύκλοι

alexandropoulos · #1

Έστω οι κύκλοι c_1:x^2+y^2-2x-2y+1=0, c_2:x^2+y^2-6x-2y+6=0

.
α. Να δειχθεί ότι οι δύο κύκλοι τέμνονται και να προσδιορισθεί η εξίσωση της κοινής χορδής.
β. Να βρεθεί η γραμμή στην οποία ανήκουν τα κέντρα των κύκλων που εφάπτονται στους $\left(c_1 \right), \left(c_2 \right)$ .

#2

Έχουμε ότι c_1: (x-1)^2+(y-1)^2=1

, δηλαδή ο κύκλος c_1

έχει κέντρο K_1(1,1)

και ακτίνα R_1=1

.

Επίσης c_2: (x-3)^2+(y-1)^2=4

, δηλαδή ο κύκλος c_2

έχει κέντρο K_2(3,1)

και ακτίνα R_2=2

.

α. Αφού K_1K_2=2

ισχύει

, οπότε οι κύκλοι τέμνονται.
Αφαιρώντας κατά μέλη τις εξισώσεις των κύκλων c_1,c_2

βρίσκουμε

η οποία είναι η εξίσωση της κοινής χορδής.

β. Εφόσον ο κύκλος

εφάπτεται στους κύκλους c_1,c_2

, τα κέντρα τους θα πρέπει να είναι συνευθειακά σημεία.

Αφού τα K_1,K_2

ορίζουν την ευθεία με εξίσωση y=1

, πάνω σε αυτή κινούνται και τα κέντρα του κύκλου

.

#3

Πρωτοπαπάς Λευτέρης έγραψε:β. Εφόσον ο κύκλος εφάπτεται στους κύκλους , τα κέντρα τους θα πρέπει να είναι συνευθειακά σημεία.

Αφού τα ορίζουν την ευθεία με εξίσωση , πάνω σε αυτή κινούνται και τα κέντρα του κύκλου .

Αν

είναι το κέντρο του κύκλου (c)

, επειδή

μάλλον σε υπερβολή βλέπω να κινείται το $\displaystyle{K}$ .

#4

Σεραφείμ έγραψε:
Πρωτοπαπάς Λευτέρης έγραψε:β. Εφόσον ο κύκλος εφάπτεται στους κύκλους , τα κέντρα τους θα πρέπει να είναι συνευθειακά σημεία.

Αφού τα ορίζουν την ευθεία με εξίσωση , πάνω σε αυτή κινούνται και τα κέντρα του κύκλου .
Αν είναι το κέντρο του κύκλου , επειδή μάλλον σε υπερβολή βλέπω να κινείται το $\displaystyle{K}$ .

Έχεις δίκιο δεν είναι ευθεία...

alexandropoulos · #5

Αν δεν έχω κάνει λάθος και θεωρώντας τον κύκλο να εφάπτεται εσωτερικά στον ένα και εξωτερικά στον άλλο μου προέκυψε μια έλλειψη. Άμα βρώ χρόνο θα ανεβάσω τη λύση.
Προβληματίζομαι για την περίπτωση που εφάπτεται εξωτερικά στους δύο κύκλους.

#6

alexandropoulos έγραψε:Αν δεν έχω κάνει λάθος και θεωρώντας τον κύκλο να εφάπτεται εσωτερικά στον ένα και εξωτερικά στον άλλο μου προέκυψε μια έλλειψη. Άμα βρώ χρόνο θα ανεβάσω τη λύση.
Προβληματίζομαι για την περίπτωση που εφάπτεται εξωτερικά στους δύο κύκλους.

Όντως, με εσωτερική - εξωτερική επαφή προκύπτει $\displaystyle{KK_1+KK_2=3}$ οπότε το $\displaystyle{K}$ κινείται σε έλλειψη, με εξωτερική-εξωτερική ή με εσωτερική-εσωτερική επαφή προκύπτουν οι δύο κλάδοι υπερβολής .. !!

alexandropoulos · #7

Σεραφείμ έγραψε:
alexandropoulos έγραψε:Αν δεν έχω κάνει λάθος και θεωρώντας τον κύκλο να εφάπτεται εσωτερικά στον ένα και εξωτερικά στον άλλο μου προέκυψε μια έλλειψη. Άμα βρώ χρόνο θα ανεβάσω τη λύση.
Προβληματίζομαι για την περίπτωση που εφάπτεται εξωτερικά στους δύο κύκλους.
Όντως, με εσωτερική - εξωτερική επαφή προκύπτει $\displaystyle{KK_1+KK_2=3}$ οπότε το $\displaystyle{K}$ κινείται σε έλλειψη, με εξωτερική-εξωτερική ή με εσωτερική-εσωτερική επαφή προκύπτουν οι δύο κλάδοι υπερβολής .. !!

Και να σκεφτείς πως αρχικά το έβλεπα για απλό.

#8

Για διευκόλυνση της εποπτείας στο θέμα αυτό αναρτώ ένα σχήμα καθώς και το δυναμικό του σε λογισμικό(Geogebra)
όπως το ζήτησε κι ο φίλος μου ο Παρμενίδης.
Το σχήμα αυτό καλύπτει τη μια περίπτωση.
(Για την άλλη σε άλλη ανάρτηση ίσως το βράδυ ή αύριο καθόσον είμαι
εκτός του σπιτιού μου.)

Κώστας Δόρτσιος

: Επαφές κύκλων1.PNG (42.57 KiB) Προβλήθηκε 754 φορές

#9

: Επαφές κύκλων2.PNG (34.34 KiB) Προβλήθηκε 692 φορές

Επαφές κύκλων 2.ggb: (6.28 KiB) Μεταφορτώθηκε 35 φορές

Η δεύτερη περίπτωση είναι αυτή που ο ζητούμενος κύκλος(ο κόκκινος) είναι εσωτερικός του ενός και εξωτερικός του άλλου.

Θυμίζω πως η πρώτη περίπτωση, όπως φαίνεται κι από το προηγούμενο σχήμα, είναι αυτή που ο ζητούμενος κύκλος είναι
εξωτερικός των δύο δοσμένων, ή εσωτερικός και των δύο αυτών ή περιλαμβάνει στο εσωτερικό του τους δύο κύκλους.

Κώστας Δόρτσιος

εφαπτόμενοι κύκλοι

εφαπτόμενοι κύκλοι

Re: εφαπτόμενοι κύκλοι

Re: εφαπτόμενοι κύκλοι

Re: εφαπτόμενοι κύκλοι

Re: εφαπτόμενοι κύκλοι

Re: εφαπτόμενοι κύκλοι

Re: εφαπτόμενοι κύκλοι

Re: εφαπτόμενοι κύκλοι

Re: εφαπτόμενοι κύκλοι

Μέλη σε σύνδεση