Ορθογώνιο σε έλλειψη

Γιώργος Απόκης · #1

Δίνεται η έλλειψη $\displaystyle{C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1}$ με a>b>0

. Αν

είναι σημεία της έλλειψης,

να βρεθεί η συνθήκη μεταξύ των a,b

και οι συντεταγμένες των K,L

ώστε το

να είναι ορθογώνιο.

Μάκης Χατζόπουλος · #2

Γιώργο δεν είμαι σίγουρος για τα αποτελέσματα, αφού έγιναν στο πόδι, οπότε τσέκαρε το!

********************************************************************************************************************************************************************************************************

Τα σημεία L,K

είναι συμμετρικά ως προς την αρχή των αξόνων, οπότε αν $K\left( {{x_1},{y_1}} \right)$ τότε $L\left( { - {x_1}, - {y_1}} \right)$ (επίσης αποδεικνύεται εύκολα και από τον τύπο του μέσου)

Επίσης,

$\begin{array}{l} \mathop {KE'}\limits^ \to \cdot \mathop {KE}\limits^ \to = 0 \Leftrightarrow \left( {\gamma - {x_1}, - {y_1}} \right) \cdot \left( { - \gamma - {x_1}, - {y_1}} \right) = 0 \\ \Leftrightarrow x_1^2 + y_1^2 = {\gamma ^2} \\ \end{array}$

Άρα παίρνουμε το σύστημα,

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x_1^2 + y_1^2 = {\gamma ^2}} \\ {} \\ {{\beta ^2}x_1^2 + {\alpha ^2}y_1^2 = {\alpha ^2}{\beta ^2}} \\ \end{array}} \right.$

$\begin{array}{l} D = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{\beta ^2}} & {{\alpha ^2}} \\ 1 & 1 \\ \end{array}} \right| = - \left( {{\alpha ^2} - {\beta ^2}} \right) \ne 0 \\ \\ {D_x} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{\alpha ^2}{\beta ^2}} & {{\alpha ^2}} \\ {{\alpha ^2} - {\beta ^2}} & 1 \\ \end{array}} \right| = - {\alpha ^2}\left( {{\alpha ^2} - 2{\beta ^2}} \right) \\ \\ {D_y} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{\beta ^2}} & {{\alpha ^2}{\beta ^2}} \\ 1 & {{\alpha ^2} - {\beta ^2}} \\ \end{array}} \right| = - {\beta ^4} \\ \end{array}$

άρα η λύση του συστήματος είναι: $\left( {x_1^2,y_1^2} \right) = \left( {\frac{{{\alpha ^2}\left( {{\alpha ^2} - 2{\beta ^2}} \right)}}{{{\alpha ^2} - {\beta ^2}}},\frac{{{\beta ^4}}}{{{\alpha ^2} - {\beta ^2}}}} \right)$

άρα πρέπει ${\alpha ^2} - 2{\beta ^2} \ge 0 \Leftrightarrow \alpha \ge \sqrt 2 \cdot \beta$ οπότε,

$\begin{array}{l} {\rm K}\left( {{x_1},{y_1}} \right) = \left( {\sqrt {\frac{{{\alpha ^2}\left( {{\alpha ^2} - 2{\beta ^2}} \right)}}{{{\alpha ^2} - {\beta ^2}}}} ,\sqrt {\frac{{{\beta ^4}}}{{{\alpha ^2} - {\beta ^2}}}} } \right) \\ \\ L\left( { - {x_1}, - {y_1}} \right) = \left( { - \sqrt {\frac{{{\alpha ^2}\left( {{\alpha ^2} - 2{\beta ^2}} \right)}}{{{\alpha ^2} - {\beta ^2}}}} , - \sqrt {\frac{{{\beta ^4}}}{{{\alpha ^2} - {\beta ^2}}}} } \right) \\ \end{array}$

STOPJOHN · #3

Τα σημεία τομής της έλλειψης και του κύκλου $x^{2}+y^{2}=\gamma ^{2}$ θα ορίσουν τις κορυφές του ορθογωνίου KELE'

γιατί $\vec{EK}=(x_{K}-\gamma ,y_{K}),\vec{E'K}=(x_{K}+\gamma ,y_{K}),\vec{EK}.\vec{E'K}=0\Leftrightarrow x_{K}^{2}-\gamma ^{2}+y_{K}^{2}=0\Leftrightarrow x_{K}^{2}+y_{K}^{2}=\gamma ^{2}$ και το σημείο

ανήκει στην έλλειψη άρα $b^{2}x_{K}+a^{2}y_{K}^{2}=a^{2}b^{2}$ συνεπώς είναι $x_{K}^{2}=\frac{\gamma ^{4}-b^{4}}{\gamma ^{2}},y_{K}^{2}=\frac{b^{4}}{\gamma ^{2}}$ ομοίως για το σημείο

Ακόμη από την καθετότητα των διανυσμάτων $\vec{EK}.\vec{EL}=0\Leftrightarrow (x_{K}-\gamma )(x_{L}-\gamma )+y_{K}y_{L}=0 (*)$ Η διερεύνηση είναι
1) Αν είναι $y_{K}=x_{K}-\gamma$ και $x_{K}=y_{K},y_{K}=-y_{L}$ τότε $\frac{b^{2}}{\gamma }=\frac{1}{\gamma }\sqrt{\gamma ^{4}-b^{4}}\Leftrightarrow (\gamma ^{2}+b^{2})^{2}=0$ άτοπο
2) Αν είναι $y_{K}=-x_{K}+\gamma$ τότε $\frac{b^{2}}{\gamma }=\frac{-1}{\gamma }\sqrt{\gamma ^{4}-b^{4}}+\gamma \Leftrightarrow b^{2}=\gamma ^{2}$ και $a^{2}=2b^{2}$
Οι άλλες περιπτώσεις που τα σημεία K,L

έχουνε αντίθετες συντεταγμένες δηλαδή $x_{K}=-x_{l},y_{K}=-y_{L}$ δεν δίνουν κάποια συνθήκη για τα $a,b,\gamma$

Γιάννης Σ.

Γιώργος Απόκης · #4

Μάκη, Γιάννη!

Η συνθήκη είναι πράγματι αυτή : $a\geq b\sqrt{2}$ . Γιάννη νομίζω η διερεύνηση είναι περιττή...

Ορθογώνιο σε έλλειψη

Ορθογώνιο σε έλλειψη

Re: Ορθογώνιο σε έλλειψη

Re: Ορθογώνιο σε έλλειψη

Re: Ορθογώνιο σε έλλειψη

Μέλη σε σύνδεση