Κύκλος 10

Γιώργος Κ77 · #1

Θεωρούμε τους κύκλους $C_{1}:x^{2}+y^{2}=\alpha ^{2},C_{2}:x^{2}+y^{2}=\beta ^{2}$ και $C_{3}:x^{2}+y^{2}=\gamma ^{2}$ , με $0<\alpha <\beta <\gamma$ . Από σημείο

του $C_{3}$ φέρουμε τα εφαπτόμενα τμήματα MA,MB

προς τον $C_{2}$ .Αν η ευθεία

εφάπτεται στον $C_{1}$ , να αποδείξετε ότι οι ακτίνες $\alpha ,\beta ,\gamma$ είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου.

Ιστοσελίδα · #2

Έστω $\displaystyle{ M(x_o ,y_o ) }$ σημείο του κύκλου $\displaystyle{ C_3 }$ και $\displaystyle{ A(x_1 ,y_1 ) }$ , $\displaystyle{ B(x_2 ,y_2 ) }$ τα σημεία επαφής. Η εφαπτομένη του κύκλου $\displaystyle{ C_2 }$ στο $\displaystyle{ A }$ έχει εξίσωση $\displaystyle{ xx_1 + yy_1 = \beta ^2 }$ . Επειδή η εφαπτομένη αυτή διέρχεται από το $\displaystyle{ M(x_o ,y_o ) }$ , οι συντεταγμένες του $\displaystyle{ M_o }$ επαληθεύουν την εξίσωση $\displaystyle{ xx_1 + yy_1 = \beta ^2 }$ . Επομένως $\displaystyle{ x_o x_1 + y_o y_1 = \beta ^2 }$ , που σημαίνει ότι η εξίσωση $\displaystyle{ xx_o + yy_o = \beta ^2 }$ επαληθεύεται από τις συντεταγμένες του σημείου $\displaystyle{ A }$ . Όμοια διαπιστώνουμε ότι επαληθεύεται και από τις συνταγμένες του σημείου $\displaystyle{ B }$ . Όμως η εξίσωση $\displaystyle{ xx_o + yy_o = \beta ^2 }$ είναι εξίσωση πρώτου βαθμού και επαληθεύεται από τις συντεταγμένες των σημείων $\displaystyle{ A }$ και $\displaystyle{ B }$ , άρα είναι εξίσωση της ευθείας $\displaystyle{ AB }$ . (σχολική άσκηση)

Αφού η ευθεία $\displaystyle{ AB }$ εφάπτεται στον κύκλο $\displaystyle{ C_1 }$ τότε

$\displaystyle{ d(O,AB) = \alpha \Leftrightarrow \frac{{\left| {x_o \cdot 0 + y_o \cdot 0 - \beta ^2 } \right|}}{{\sqrt {x_o^2 + y_o^2 } }} = \alpha \Leftrightarrow \frac{{\left| { - \beta ^2 } \right|}}{{\sqrt {\gamma ^2 } }} = \alpha \Leftrightarrow \beta ^2 = \alpha \cdot \gamma }$

που σημαίνει ότι ο ι αριθμοί που εκφράζουν τις ακτίνες $\displaystyle{ \alpha ,\beta ,\gamma }$ των τριών κύκλων είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου.

parmenides51 · #3

εδώ

Κύκλος 10

Κύκλος 10

Re: Κύκλος 10

Re: Κύκλος 10

Μέλη σε σύνδεση